In[]:=
deploy
Thu 23 Jan 2020 17:26:31

Eigenvalues of product of integer/gaussian matrices

In[]:=
d=256;​​randNormal:=RandomVariate[NormalDistribution[0,1],{d,d}]/Sqrt[d];​​randInteger:=N@Normal@AdjacencyMatrix@RandomGraph[BernoulliGraphDistribution[d,.5]]/Sqrt[d/2];​​svals={};​​mat=IdentityMatrix[d];​​maxIters=100;​​For[i=1,i<=maxIters,i+=1,​​mat=mat.randNormal.randInteger;​​AppendTo[svals,SingularValueList[mat]]​​]​​makeplot[k_]:=ListLogLogPlot[svals[[k]],PlotRange{{1,d},{10^-20,1}},FillingAxis]​​animation=ListAnimate[makeplot/@Range@maxIters]
Out[]=
In[]:=
ListPlot[Length/@svals]
Out[]=
20
40
60
80
100
50
100
150
200
250

How many non-zero eigenvalues left after 100 steps?

doit:=(​​d=256;​​randNormal:=RandomVariate[NormalDistribution[0,1],{d,d}]/Sqrt[d];​​randInteger:=N@Normal@AdjacencyMatrix@RandomGraph[BernoulliGraphDistribution[d,.5]]/Sqrt[d/2];​​svals={};​​mat=IdentityMatrix[d];​​maxIters=100;​​For[i=1,i<=maxIters,i+=1,​​mat=mat.randNormal.randInteger​​];​​​​Length[SingularValueList[mat]]​​);
In[]:=
Table[doit,{100}]//Histogram
Out[]=

Try with larger precision

In[]:=
d=6;​​prec=10000;​​iters=20;​​randNormal:=SetPrecision[RandomVariate[NormalDistribution[0,1],{d,d}]/Sqrt[d],prec]​​randInteger:=SetPrecision[N@Normal@AdjacencyMatrix@RandomGraph[BernoulliGraphDistribution[d,.5]]/Sqrt[d/2],prec];​​start0=SetPrecision[IdentityMatrix[d],prec];​​svals=SingularValueList[Nest[#.randNormal.randInteger&,start0,iters]];​​Print["number of zero singular values: ",d-Length[svals]];​​Print["smallest non-zero singular values: ",Min[svals]]
number of zero singular values: 3
smallest non-zero singular values: 1.5496857583817932809759350602169497997269845466842143568492243830451576186463984712253603385601772129759253306935698241090230725757634663725595411427455589940703565845185098805140407638770723957415143803159501721080080764701478997506024470050735817121158841092068679317353778624280530642700729385308851484399993746444523028568589106815155933327693078404185992782886779380596250256919627347671839119580982211585624884225397080683321718888289214993999362988746425200341753855019957538275879199555642083656640607965517192400285832091793352368140102506017496924088212529816425269805151310793039168891411230941776255376926661782612888370180199550302799614833339670111473859945330627898335507394779728068093421925512509647137246823015872353145732040884349258460599425060244808252211495778105579507590082314057727260598876769937106280908594482668768825299254115849062330507206651608098023465849357466769418531469321554654274000501138719566724611828012942735172251300789009311783480074670082332352650106184422945547752039184403320455219040734020784679512813553154043376106892671980967804084094599637300640756245092522517191731797647012680216120537740948759089242386028035517467781195227568974744318432202614642272978008548157789526529942793081622069535653758132180822515182095672341511706375075854970880655640396873842871445631272038233413003279934279198280536125405778742167705702400235563526668794653992983030462309764182238463628696003086282284768858994222233150993263508890813549255848455201525295069436675681418411498722564123776809702823843905430487585327374007367387962667414575134817341092794833636415032031985253962111080442254594118033717009730879862664288849093238632665537094890311542040531252863346813374522753287052063833608464923103116839374697443278107204043489311169462385801778086917957514079194462906714972321082266079986337306210983481121375711913443886996346982179623704799701529700454972646577341378572179628271162028499703586394518691370375352582925641324075045625450846608735150955026040331734243519084988834552977410977070344014375895268537900876951941560424947389600652677876336335986814942656187578849613881747954475941796821003444386872611562428411132825613272579273643155040903198729666740991110642115296136849778016027079695017878896078526281734548353532732065646789073739507141733803608669642002095146345906566056539751057712148309491778778941951118057959682534448708396201814869501406510328969779016797763571628969776665737984266480851699422633533396508792368117980970495971522468486060236604231604251884087333493980251800957483696804876432347386826403368777014556603007020820118527849737577827459659508086216689454283770602898976624327091895975886770294745248516858195030847301400458412034084294048999729440622262088977328201084139087830706162751415608181091034040470245332379722864872328457326291048091608055000649343543149823433728715482250312745680131955901882966593031157001432228232370778132641221502423953682323881181117077103123020002212958423522864774664631470260841780382491294904359247064915674771010568254962508185450144676000897345921824227569722009562434973177969431465393359909277240684907135587009254790117036679350429430365009655524504128257100376407536350713410811229169405017078718473285141744918297588517139783753979834067708009909919082650863680603274284105707202460629682571647904218841633936179900301062743872258838661531452507695253300143897539592455946740381211705271356362708894503165606053383084435393766806144013543664772264659004324820003515605229690073506470868565224464222448896440610974717845553603765238328395032957304908954760788362786660924475697231736593577916438035071396816513597179513253756978026058078221187898350790913344644297772889466338173646595090011961831848934313702629566231470653760705685320423904640217864317260642722798909149200705335600511207032423713345341232111882405104378775468598412032008531532713805809505585689281062144192527692752188608832017911944767912582617961793309459311378318338985023967255518418168061453159368352033263137329507572063217904534703213791083686820606814745480606803782127334883046915815713999375643928482159511715203403666543779443426561470329852983488111359307115373194369013124878952508291428800278791038081111357025632749212172082042548968604046367576066645356073751899761943976902011109516713851363910971213106509987234636216873305364712899135173137905389827282451146080781637970825028341754779493140864655640539161694815661192963497415844843857876995034229707158518601696201858033188425116482894249013907867862844204304446153890348169313111227901659287464031172608587417829971150840892667992503557384238554259102515671896687912973838811498722512861526332691740761045768045040161333088813493145805554005559425355519250788352431183279837320233073507080499786062884553113448108315325727947182343357967332079787243395360363809448687156183773223757681656771801095527761166141415982318655928569065118489390516402976841842365118744085602300038865176210616247461977601455057848903808847320621135270117228292035240136180944825742247188864841043989695590110583223372221343344145691099539019519509320149057449071856985725709736150666796540540802657140866132026318781780066496435190146409689486038549027871781434197498266236867456831558266872988143008221835814461627242384233155800791479285714903445560785427250495552373838386333419110734818132103615210883733728919546543399904115929951574613905007717112225561187515386183689985968161909805120354960754176750134737555910569973021809433647584315869964700150920942347934500253328733662124585708071148347392959497746237304370305305233129929757342423747756776957275677751771559668022411707061423572640115102557189529753671297769148352799127462210618464833287917502553654204002018344076430091830699760234765669854944816854446605003664554405093157962169895983619909681583057166494144706979475475330569859652361218392992397035966590098345051791198853460871820242369105190780547434583923978462348827639291717240497278351524136747860887107215040613775716261844388779279506767395174489274105066992077219407507556183371698699106521404604294550899827779462992938218794880222043945426971868996905400055328166913473504035333271609411747946180587076399808772869151528855515415870012700437763357302055301683686567303213576065374823934931398330299950113884902851721443542123605875465685198602582316984033348476999825341428999987836286738234285632712519405098792479919809107110827559753795568691593247716970122093576793649090407857844749567443228095388804206315172054749325361719071671048974029452383564495849558535525374638463432901196755212462995476566268626267382597481363060538736711947216049149303102599577705848763050505446901750352966911632547177798124615609536561226374940123788683848781783257988186607479217902145243441845340316828003353142061786464114020098429720531324030398933732290879088728361105614763594464313226330605195540705522415442182733650851040290960560516086566213731427950770716376706456116559235728519570559689955770240046826014418238504934163903016705312608260885255683818710599065447869530167625782151704140167539747652236127165902704618523634468227139349812562704755189244471227585774613029134046038682743135951863411039319875247842696617676342852666175404047372933779371424272091429106936112035249241068455992055913357875665003836675359343938946874499816867749432285904060942234033737592500145778604006746529750556987912563303590443072454176988602596946274070106844684912602564897438907422850217341993722496832075732101627402719691301663483411466983483939457151335365091609838223224008861695263302335122794232589680001870335748077204000482632922336135770724903203535736767345172127146562968164520160855530341974795169535650162117487293020644770229695751016648305369244019223875340434315874802029400822853418834700879863248150725139981343867751342296586655990039559875710280857836915322813200381537965816233292572936201458640350536157015367873794930635069990945308309256156853892217390842825126870846111662348236286442236214936463085782339523692563094032337432128970317986328186695927810007077702348719774237566203611659073176224593422141116744886618093433778048500813009848741297871793736806832779069195224931517723232408580748240000073132779237861819260229705157259401122483250834190084842909826353116844690928034483469417120186430581204028323923922705820858348383466745883352649607816891166823230705476609606041872471920530637887026642456199632930303899802701027640139371665243824832079289395386136557711970886821152202885162293715875736817671436586381811912587296982256399643079643032586622244497138308355002245304692310376150316897573000354949669977785572642764712783339041691246528812746120441436222963530019207370848495823646269886862671127127667734801771852075110884514610370263425754676038192007560421065099941207846077619466140598682651547212691678659143113094568295035336358308170756142773707843241706880796345300771244663911617618991287260518501946347626874447535367126169215863477147767213609960793916735001770093532127539316935795043065806485920215068144109345760171960826686186712697046116842024633099317744932508720414587784263329589862541836379430480677675010043247857807798285386977928857877706606342609444693647648290203856749290176826052669561477235845646980784245894076189599309708484663666346775797864409300503731534706289666028046093632990037836252865092190087578567790945817745601778602065282070851537493037653063277572045604760906781790320648171113744074962984791704149662027803460602963335197269253235346053702158775758823613098065753285355656421775688968849198332691018952882339735532136860734681036063838093394764949208233043863782271607850316812906651856041553090229509140187503586206795996267120059740259958723972089309870350214020877727918242559647666163873762612363162127053295545140847971636895021256435127743999247455385918759540552651325828854130108869201486325808520438243904278921440354171620993082436870571695925878803240767743263567993278116498259682967146533202792849920760194832722821298070×
-9
10