Le beignet entropique : racines complexes des polynômes de Littlewood

par Ed Pegg
Article original
Paul Abbott m’a interrogé au sujet de l’article sur les beignets entropiques, paru dans Quanta Magazine. Une partie de celui-ci était fondée sur un article de William Thurston, Entropie dans une dimension. Le code de l’objet apparaît dans le livre Mathematica Guidebook for Programming de Michael Trott (page 23) qui a été utilisé pour la dernière illustration des racines polynomiales sur MathWorld. Voici un code de Yuncong Ma qui a reçu une mention lors du concours une-ligne de 2012.
In[]:=
Graphics[{PointSize[Tiny],Point@Flatten[((ReIm[z]/.#)&/@NSolve[z^Range[0,11].#==0,z])&/@Tuples[{-1,1},12],1]}]
Out[]=
J’ai trouvé le code sur StackExchange : condenser le code pour représenter graphiquement les racines des polynômes de Littlewood. J’ai ensuite récupéré le code : tracer les points critiques des polynômes de degré d.
With[{γ=0.12,β=1.},fLor=Compile[{{x,_Integer},{y,_Integer}},(γ/(γ+x^2+y^2))^β,RuntimeAttributes->{Listable}]];​​​​PlotComplexPoints[list_,magnification_,paddingX_,paddingY_,brightness_,vec_]:=Module[{dimX,dimY,RePos,ImPos,lor,posf,sparse},posf=1+Round[magnification(#-Min[#])]&;​​RePos=paddingX+posf[Re[list]];ImPos=paddingY+posf[Im[list]];​​dimX=paddingX+Max[RePos];dimY=paddingY+Max[ImPos];​​With[{spopt=SystemOptions["SparseArrayOptions"]},Internal`WithLocalSettings[SetSystemOptions["SparseArrayOptions"->{"TreatRepeatedEntries"->1}],Image[Outer[Times,brightnessAbs[InverseFourier[Fourier[SparseArray[Thread[Transpose[{ImPos,RePos}]->ConstantArray[1,Length[list]]],{dimY,dimX}]]Fourier[RotateRight[fLor[#[[All,All,1]],#[[All,All,2]]]&@Outer[List,Range[-Quotient[dimY,2],Quotient[dimY-1,2]],Range[-Quotient[dimX,2],Quotient[dimX-1,2]]],{Quotient[dimY,2],Quotient[dimX,2]}]],FourierParameters->{-1,1}]],Developer`ToPackedArray[N[vec]]],Magnification->1],SetSystemOptions[spopt]]]]
to16=With[{n=16},NSolve[Times@@(1+Tuples[{-1,1},n].x^Range[n]),x]];​​PlotComplexPoints[x/.to16,600,20,20,1,{0.1,0.3,1.}]
Out[]=
Cependant, je n’ai pas réussi à comprendre comment relier les éléments de récursion de type ensemble de Mandelbrot en haut de l’article de Quanta avec l’objet de points des polynômes de Littlewood mentionné dans la partie inférieure de l’article.

CITER CE NOTEBOOK

Le beignet entropique : racines complexes des polynômes de Littlewood​par Ed Pegg​Communauté Wolfram, CHOIX DE L’ÉQUIPE, 27 février 2026https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/3647051