O “bagel” de entropia: raízes complexas de polinômios de Littlewood

Paul Abbott me perguntou sobre a publicação da Quanta Magazine a respeito dos chamados Entropy Bagels — estruturas fractais em forma de anel associadas à entropia. Parte do conteúdo se baseou em um artigo de William Thurston intitulado Entropy in Dimension One. O código para gerar esse objeto aparece no livro de Michael Trott, Mathematica Guidebook for Programming (p. 23), que foi utilizado no último gráfico da página Polynomial Roots do MathWorld. Vamos ver o código com o qual Yuncong Ma recebeu menção honrosa na competição One-line de 2012.

In[]:=

Graphics[{PointSize[Tiny],Point@Flatten[((ReIm[z]/.#)&/@NSolve[z^Range[0,11].#==0,z])&/@Tuples[{-1,1},12],1]}]

Out[]=

Encontrei esse código no StackExchange, na discussão Condense code to graph the roots of Littlewood polynomials. Em seguida, utilizei também um código da postagem Plot the critical points of degree d polynomials.

With[{γ=0.12,β=1.},fLor=Compile[{{x,_Integer},{y,_Integer}},(γ/(γ+x^2+y^2))^β,RuntimeAttributes->{Listable}]];PlotComplexPoints[list_,magnification_,paddingX_,paddingY_,brightness_,vec_]:=Module[{dimX,dimY,RePos,ImPos,lor,posf,sparse},posf=1+Round[magnification(#-Min[#])]&;RePos=paddingX+posf[Re[list]];ImPos=paddingY+posf[Im[list]];dimX=paddingX+Max[RePos];dimY=paddingY+Max[ImPos];With[{spopt=SystemOptions["SparseArrayOptions"]},Internal`WithLocalSettings[SetSystemOptions["SparseArrayOptions"->{"TreatRepeatedEntries"->1}],Image[Outer[Times,brightnessAbs[InverseFourier[Fourier[SparseArray[Thread[Transpose[{ImPos,RePos}]->ConstantArray[1,Length[list]]],{dimY,dimX}]]Fourier[RotateRight[fLor[#[[All,All,1]],#[[All,All,2]]]&@Outer[List,Range[-Quotient[dimY,2],Quotient[dimY-1,2]],Range[-Quotient[dimX,2],Quotient[dimX-1,2]]],{Quotient[dimY,2],Quotient[dimX,2]}]],FourierParameters->{-1,1}]],Developer`ToPackedArray[N[vec]]],Magnification->1],SetSystemOptions[spopt]]]]

to16=With[{n=16},NSolve[Times@@(1+Tuples[{-1,1},n].x^Range[n]),x]];PlotComplexPoints[x/.to16,600,20,20,1,{0.1,0.3,1.}]

Out[]=

No entanto, não consegui estabelecer uma conexão entre os elementos de recursão semelhantes ao conjunto de Mandelbrot apresentados no \bi\bnício do artigo da Quanta Magazine e o objeto formado pelos pontos das raízes dos polinômios de Littlewood mencionado na parte final do artigo.

CITE ESTE NOTEBOOK

The entropy bagel: complex roots of Littlewood polynomials
by Ed Pegg
Wolfram Community, STAFF PICKS, February 27, 2026
https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/3647051