La courbe de Kochawave et autres fractales

par Ed Pegg
Article original
Rémy Sigrist a rédigé l’article sur la « courbe de Kochawave », une variante de la courbe de Koch, alors j’ai pensé l’essayer.
KochwavePoints[n_Integer?NonNegative]:=​​Module[{ω=Exp[IPi/3],steps=4^n,z,uk,vk},​​z=ConstantArray[0,steps+1];​​Do[​​uk=DigitCount[k,4,1];​​vk=DigitCount[k,4,2];​​z[[k+2]]=z[[k+1]]+(1+ω)^uk/ω^(2vk),​​{k,0,steps-1}];​​Transpose[{Re[z/3^n],Im[z/3^n]}]];​​KochwaveCurve[n_Integer?NonNegative]:=Line[KochwavePoints[n]];
In[]:=
kp=KochwavePoints[6];Graphics[{EdgeForm[{Thin,Black}],Cyan,Polygon[Append[kp,{0,0}]]},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,ImageSize->800]
Out[]=
Voici une méthode plus simple, mais quelque chose ne va pas avec le dernier segment :
In[]:=
Graphics@KochCurve2,{1,0},
3
3
,30°,{1,-150°},{1,120°}
Out[]=
Voici une méthode pour faire fonctionner correctement la courbe de Koch :
In[]:=
Graphics@KochCurve5,{1,0},
3
3
,30°,{1,-150°},{1,120°},{1/100000,0}
Out[]=
Benoît Mandelbrot est né le 20 novembre 1924. Pour son 101ᵉ anniversaire, je donnerai une conférence en ligne gratuite sur les fractales à 11 h, heure de Chicago. Il existe des milliers de fractales écrites en Wolfram Language, donc je mettrai en avant une centaine d’entre elles.
Par exemple, la fonction des arrangements de Schmidt.
In[]:=
ResourceFunction["SchmidtArrangements"][-3,"MinCurvature"->0,"MaxCurvature"->10,"Color"->{"ColorSaul",{2,1,1}},"Transparency"->"Increasing","Filter"->Rectangle[{-2.1,-Sqrt[3.0]-0.1},{2.1,2*Sqrt[3.0]+0.1}],PlotRange->{{-2,2},{0,Sqrt[3.0]}},ImageSize->Large]
Out[]=
Et le pavage fractal en moulin à vent :
In[]:=
ResourceFunction["AlgebraicSubstitutionTiling"]["Pinwheel",4,{"N","Start"->{{{0,0},{0,1},{2,1}},{{2,1},{2,0},{0,0}}}}]
Out[]=
Ou le triangle super doré construit à partir de la fractale PsiQuad. Si vous trouvez une solution complexe de
2
ψ
+1=
3
ψ
, alors les puissances de cette valeur donnent les sommets d’un système de substitution. C’est une fractale auto-générative.
In[]:=
{ψ,ψn,ψp}=x/.Solve[x^2+1==x^3];​​ψvals=ReIm/@{
0
ψp
,
1
ψp
,
2
ψp
,
3
ψp
,
4
ψp
,-
2
ψp
};​​ψtext={"
0
ψ
","
1
ψ
","
2
ψ
","
3
ψ
","
4
ψ
","-
2
ψ
"};​​pols={{1,2,3,4},{2,3,4,5},{5,4,1,6}};​​Graphics[{Opacity[.5],MapIndexed[{Hue[#2[[1]]/3],Polygon[ψvals[[#1]]]}&,pols],​​Opacity[1],Table[Style[Text[ψtext[[n]],ψvals[[n]]],40],{n,1,6}],​​Style[Text["+ 1 =",Mean[ψvals[[{3,4}]]]],40],Disk[{0,0},.02]}]
Out[]=
Ceux-ci mènent au triangle fractal super doré :
In[]:=
ResourceFunction["AlgebraicSubstitutionTiling"]["PsiQuad",16,{"N","ImageSize"{600,410}}]
Out[]=
La proportion super dorée est une somme infinie de ses propres puissances réciproques :
Ce qui mène à la spirale de nautile du triangle super doré :
Pour découvrir tout cela et bien plus, venez assister à ma conférence en ligne gratuite sur les fractales à 11 h (heure de Chicago) le jeudi 20 novembre.

CITER CE NOTEBOOK

La courbe de Kochawave et autres fractales​
par Ed Pegg​
Communauté Wolfram, CHOIX DE L’ÉQUIPE, 19 novembre 2025
​https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/3577688