Poliedros que preenchem o espaço: tesselação de células de Voronoi e classificação de estéreoedros no espaço euclidiano tridimensional

por Ed Pegg
Estou preparando uma palestra online gratuita no dia 16 de abril, às 11h (horário de Chicago), sobre poliedros que preenchem o espaço. Mas o notebook está ficando enorme com tantos dados.
Aqui está o link do YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=YQRHsnd9yCA
Estou colocando alguns dados aqui para tornar o notebook da palestra mais manejável.
Isso expande minha publicação anterior sobre o poliedro Engel-38. https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/2617634
Um artigo de Moritz W. Schmitt, On Space Groups and Dirichlet–Voronoi Stereohedra, fornecey o direcionamento. Dentro do grupo espacial IT(214), o ponto gerador da grade (427/6984, 761/6984, 1421/6984) produz o poliedro de 38 faces que preenche o espaço. O autor também disponibiliza o programa https://github.com/moritzschmitt/plesiohedron. Mas nunca consegui fazê-lo funcionar.
Eu já tinha um poliedro gerado a partir de uma célula de Voronoi, então quis gerar os outros 3903 poliedros.
Primeiro, obtive dados de 3903 plesioedros a partir do artigo de Schmitt.
In[]:=
schmittSG=
;
Eu consegui abrir aquela forma compactada. Imagine 50 páginas de código.
MaXrd é um bom pacote de programas para grupos espaciais, como mencionei.
PacletInstall["https://github.com/Stianpr20/MaXrd/releases/download/4.0.0/MaXrd-4.0.0.paclet"]
Quantas rotações existem em cada grupo espacial? Eu precisava saber isso mais adiante.
spacegrouprotations=
;

Novo código

Código Plesio 2


Novo código de célula de translação


Ângulos diedrais


Novo código de célula de translação V2


Nova célula de translação V3


Voltando à explicação

Com todo esse código, obtive os 3903 poliedros que preenchem o espaço.
In[]:=
sf=
;
O seguinte significa que encontrei 16 poliedros de 4 faces que preenchem o espaço e 1 poliedro de 38 faces:
In[]:=
Length/@sf
Out[]=
{16,81,210,277,162,123,184,153,180,252,469,346,312,305,270,165,100,74,47,46,26,25,28,11,12,9,3,4,2,3,2,3,1,1,1}
O último é o Engel-38
In[]:=
sf[[35]]

Poliedros de 8 faces que preenchem o espaço

Devido a problemas de similaridade, selecionamos apenas aqueles com uma estrutura de grafo diferente. Eu deveria ter acompanhado os ângulos diedrais.
In[]:=
trim8=(First/@GatherBy[SortBy[sf[[5]],{-#["MinFaceArea"],-ReverseSort[#["FaceAreas"]]}&],CanonicalGraph[UndirectedEdge@@@#[["EdgePairs"]]]&]);
In[]:=
Column[{Style[Row[{#["SpaceGroupNumber"]," ",#["VEFCounts"]," ",#["GeneratorPoint"]}],7],​​Graphics3D[{Opacity[.6],GraphicsComplex[#["Vertices"],Polygon/@#["Faces"]]},Boxed->False]},Alignment->Center]&/@trim8
Out[]=

195 {6,12,8} 
1
2
,0,0
,
150 {12,18,8} 
1
3
,0,0
,
95 {12,18,8} 
121
250
,
121
250
,
1
8

,
205 {7,13,8} 
360
1441
,
721
2882
,0
,
198 {8,14,8} -
1
8
,-
1
8
,
1
8

,
208 {7,13,8} 
907
1816
,
907
3632
,0
,
121 {10,16,8} 
51
250
,-
23
125
,
1
4

,
112 {12,18,8} 
62
125
,0,
31
125

,
230 {8,14,8} -
1
8
,
1
24
,
5
24

,
180 {11,17,8} 
62
125
,-
62
125
,0
,
122 {12,18,8} 
875
2518
,
875
2518
,0
,
87 {12,18,8} 
47
100
,-
1
500
,
31
125

,
140 {11,17,8} 
47
100
,-
13
500
,
31
125

,
223 {10,16,8} 
249
7264
,
247
7264
,
243
7264

,
193 {12,18,8} 
23
125
,-
7
125
,
1
250

,
205 {6,12,8} 
721
2882
,
360
1441
,
360
1441


Algo está errado com o 2º e o 15º. Tenho três versões do código de célula unitária e cada uma ainda apresenta dificuldades com alguns dos grupos espaciais mais estranhos.
Idealmente, dentro de algumas horas, terei funções que funcionem para todos os 230 grupos espaciais e um banco de dados organizado para todos os poliedros que preenchem o espaço. Mas isso talvez não seja provável no curtíssimo prazo. Ainda assim, tenho certeza de que eventualmente tudo funcionará. Por enquanto, 90% dos poliedros já funcionam bem.
Mais uma vez, minha palestra online gratuita será no dia 16 de abril, às 11h (horário de Chicago), sobre poliedros que preenchem o espaço.
Aqui está o link do YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=YQRHsnd9yCA
Sinta-se à vontade para participar.

CITE ESTE NOTEBOOK

Spacefilling polyhedra: Voronoi cell tessellation & stereohedra classification in 3D Euclidean space​
by Ed Pegg​
Wolfram Community, STAFF PICKS, April 15, 2026
​https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/3688732