Jeux mathématiques : constantes mathématiques

par Ed Pegg
Cet article fait partie d’une série de présentations en direct intitulée Jeux mathématiques, dans laquelle nous explorons une variété de jeux et d’énigmes à l’aide de Wolfram Language. Dans cet article, nous explorons les constantes mathématiques.
Article original

demonstrations.wolfram.com

De nombreuses démonstrations utilisent des constantes mathématiques.

Constantes définies

In[]:=
defined={Pi,E,Degree,GoldenRatio,GoldenAngle,EulerGamma,Catalan,Glaisher,Khinchin,StieltjesGamma[1],ChampernowneNumber[10]};
In[]:=
Grid[{TraditionalForm[#],N[#]}&/@defined]
Out[]=
π
3.14159

2.71828
°
0.0174533
ϕ
1.61803
GoldenAngle
2.39996

0.577216
C
0.915966
A
1.28243
K
2.68545
γ
1
-0.0728158
C
10
0.123457

Entity[“MathematicalConstant”]

Mathematica compte actuellement 436 entités de constantes mathématiques. Vous pouvez consulter la liste et les propriétés avec :
In[]:=
EntityList["MathematicalConstant"]
EntityProperties["MathematicalConstant"]
En voici quelques-unes :
In[]:=
constant=EntityList["MathematicalConstant"];
In[]:=
Short[constant,1]
Out[]//Short=

abundant number density constant
,
arithmetic-geometric mean constant
,
Airy function constant
,
Alladi-Grinstead constant
,
alternating series of reciprocal primes constant
,
Apéry constant
,
Apollonian circle-packing constant
,
Artin constant
,
asymptotic efficiency constant
,
Atkinson-Negro-Santoro constant
,
Backhouse constant
,
second Backhouse constant
,
Baker constant
,
ball tetrahedron-picking constant
,
Barban constant
,
Bateman A constant
,
Bateman B constant
,
Bateman-Grosswald constant
,
Bateman-Stemmler constant
,
Baxter four-coloring constant
,
Bender A constant
,
Bender r constant
,
first Bernoulli sophomore dream constant
,
second Bernoulli sophomore dream constant
,
Bernstein constant
,
Bessel
J
0
first root constant
,
birthday problem constant
,
Bloch constant conjectured value
,
Boyd constant
,
Brown-Wang constant
,
Brun constant
,
Brun prime quadruple constant
,
Buffon constant
,
Cahen constant
,
Calabi ratio
,
carefree constant
,
carefree product constant
,
Carlson-Levin constant
,
Catalan constant
,
Chaitin constant
,
Champernowne base-2 constant
,
Champernowne base-3 constant
,
Champernowne constant
,
common logarithm of 3
,
common logarithm of 
,
common logarithm of π
,
complex Grothendieck constant upper bound
,
conic constant
,
continued fraction constant
,
Conway constant
,
Conway-Guy constant
,
Copeland-Erdős constant
,
real fixed point of coth(z)
,
cube face line-picking constant
,
cube-free word constant
,326,
square root of 5
,
square root of 
,
square root of 
,
standard Gumbel distribution median
,
Steiner number
,
Steiner ratio of the Euclidean plane
,
Steinitz constant of the Euclidean plane
,
Stephens constant
,
Stieltjes constant
,
strongly carefree constant
,
strongly carefree product constant
,
strongly triple-free set constant
,
Takeuchi-Prellberg constant
,
smallest positive root of the tanc function
,
Taniguchi constant
,
Tarannikov constant
,
tetrahedral bond angle
,
tetrahedron tetrahedron-picking constant
,
tetranacci constant
,
Theodorus constant
,
Thue constant
,
Thue-Morse constant
,
total area of Ford circles
,
totient constant
,
totient product constant
,
triangular root of two
,
tribonacci constant
,
first Trott constant
,
second Trott constant
,
third Trott constant
,
twenty-vertex entropy constant
,
twin primes constant
,
two-arc beam detection constant
,
ubiquitous constant
,
unforgeable word constant
,
unit-diameter hexagon area
,
universal parabolic constant
,
Vallée constant
,
van der Corput constant
,
van der Pauw constant
,
Vardi constant
,
Varga constant
,
Viswanath constant
,
Wadsworth constant
,
Wallis constant
,
weakly carefree constant
,
Weierstrass constant
,
White House switchboard constant
,
Whittaker-Goncharov constant
,
Wilbraham-Gibbs constant
,
Wright constant
,
Wyler constant
,
first non-trivial root of the Riemann zeta function
,
Riemann ζ of 2
,
Zolotarev-Schur constant


Une grille de constantes

Voici quelques constantes.
In[]:=
GridTakeSortByTableEntityValue[constant[[index]],#]&/@
traditional notation
,
short numerical approximation
,"CanonicalName",
defining formula
,{index,1,318},LeafCount[Last[#]]&,120
Out[]=
C
MDT
2.356527353
MonomerDimerTriangularConstant
MonomerDimerTriangularConstant
ProductLog[1]
0.5671432904
OmegaConstant
ProductLog[1]
ChampernowneNumber[3]
0.5989581675
ChampernowneBase3Constant
ChampernowneNumber[3]
C
CL
1.772453851
CarlsonLevinConstant
Sqrt[π]
C
CLE
0.4342944819
CommonLogOfE
Log10[]
C
CLP
0.4971498727
CommonLogOfPi
Log10[π]
C
CLT
0.4771212547
CommonLogOf3
Log10[3]
C
EEG
1.781072418
ExpEulerGammaConstant
EulerGamma

C
ER
15.15426224
ExponentialReiteratedConstant


C
Fr
6.580885991
FrodaConstant

2
C
INE
0.3678794412
ReciprocalOfE
1

C
IPi
0.3183098862
ReciprocalOfPi
1
π
C
Ko
4.307692308
KornConstant
56
13
C
LGR
0.4812118251
LogOfGoldenRatio
Log[GoldenRatio]
C
LK
0.9878490568
LogOfKhinchinConstant
Log[Khinchin]
C
Pi2
9.869604401
PiSquaredConstant
2
π
C
PiPPi
36.46215961
PiPowerPiConstant
π
π
C
REM
1.732454715
ReciprocalOfEulerGamma
1
EulerGamma
C
SR5
2.236067977
SquareRootOf5
Sqrt[5]
C
SRE
1.648721271
SquareRootOfE
Sqrt[]

A
1.202056903
AperyConstant
Zeta[3]

Ch
0.1234567891
ChampernowneConstant
ChampernowneNumber[10]

Ch2
0.8622401259
ChampernowneBase2Constant
ChampernowneNumber[2]

ln 10
2.302585093
LogOf10
Log[10]

ln 2
0.6931471806
LogOf2
Log[2]

Ge
23.14069263
GelfondConstant
π


P
1.414213562
PythagorasConstant
Sqrt[2]

T
1.732050808
TheodorusConstant
Sqrt[3]
ℐ
0.06598803585
EPowerNegativeEConstant
-

°
0.01745329252
Degree
π
180
C
BTP
0.05272603055
BallTetrahedronPickingConstant
12π
715
C
Bu
0.6366197724
BuffonConstant
2
π
C
CN
1.444667861
SteinerNumber
1


C
Co
-7.389056099
ConicConstant
-
2

C
DFA
0.4472135955
DiophantineApproximation1DConstant
1
Sqrt[5]
C
F
1.570796327
FavardConstant
π
2
C
MGS
0.4636476090
MachinGregorySeriesConstant
ArcTan
1
2

C
Pip
1.359140914
PippengerProductConstant

2
C
REEG
0.5614594836
ReciprocalExpOfEulerGamma
-EulerGamma

C
RFS
1.273239545
RamanujanForsythSeriesConstant
4
π

d
0.2915609040
DominoTilingConstant
Catalan
π

De
1.259921050
DelianConstant
1/3
2

GS
2.665144143
GelfondSchneiderConstant
Sqrt[2]
2
δ
S
2.414213562
SilverRatio
1+Sqrt[2]
θ
m
0.9553166181
MagicAngle
ArcSec[Sqrt[3]]
θ
t
1.910633236
TetrahedralBondAngle
ArcCos-
1
3

G
Go
0.5963473623
GompertzConstant
-ExpIntegralEi[-1]

GA
2.399963230
GoldenAngle
(2π)/
2
GoldenRatio
R
2.625374126×
17
10
RamanujanConstant
Exp[πSqrt[163]]
2
π
6
1.644934067
ZetaOf2
2
π
6
c
J
4.810477381
JohnConstantLowerBound
-

C

0.5396454912
IoachimescuConstant
2+Zeta
1
2

C
GS
1.358456274
GoldenSpiralConstant
2/π
GoldenRatio
C
H
1.154700538
Hermite2DConstant
2
Sqrt[3]
C
ISN
0.6922006276
ReciprocalOfSteinerNumber
-1/

C
MGD
0.3665129206
StandardGumbelDistributionMedian
-Log[Log[2]]
C
NR
0.8224670334
NielsenRamanujanFirstIntegral
2
π
12
C
QL
0.4784176044
QuadtreeLeafProportionConstant
-39+4
2
π
C
RMM
0.8660254038
SteinerRatioOfTheEuclideanPlane
Sqrt[3]
2
C
St
1.118033989
SteinitzConstant
Sqrt[5]
2
C
VDP
4.532360142
VanDerPauwConstant
π
Log[2]

PTP
0.07023049277
PythagoreanTriplePerimeterConstant
Log[2]
2
π
ℱ
FF
1.226742011
FibonacciFactorialConstant
QPochhammer-1
2
GoldenRatio


A
0.1591549431
PythagoreanTripleHypotenuseConstant
1
2π

20VE
2.598076211
TwentyVertexEntropyConstant
3Sqrt[3]
2
A
td
0.07388002974
DiskTrianglePickingConstant
35
48
2
π
s
ld
0.9054147874
DiskLinePickingConstant
128
45π
C
DSTQ
0.2887880951
DigitalSearchTreeQConstant
QPochhammer
1
2
,
1
2

C
Gi
1.178979744
GibbsConstant
1
π
2SinIntegral[π]
C
RKL
0.8427659133
ReciprocalKhinchinLevyConstant
12Log[2]
2
π

d
1.791622812
Dimer2DConstant
2Catalan
π

μ
1.451369235
SoldnerConstant
Root[{LogIntegral[#1]&,1.45136923488338105028396848589}]
ϕ
1.618033989
GoldenRatio
1
2
(1+Sqrt[5])
C
FDKS
1.261859507
FractalDimensionKochSnowflake
Log[4]
Log[3]
C
HD
1.584962501
SierpinskiTriangleFractalDimension
Log[3]
Log[2]
C
La
0.7252064830
LangfordConstant
97
150
+
π
40
C
MCE
3.420132882
MeanderCriticalExponent
1
12
(29+Sqrt[145])
C
RC
0.7044798810
RectilinearCrossingConstant
1-
35
12
2
π
C
RPA
3.141592654
RamanujanPiApproximationConstant
Log[262537412640768000]/Sqrt[163]
C
SDBR
0.1945280495
DuBoisReymondSecondConstant
1
2
(-7+
2

)
C
TR2
1.561552813
TriangularRootOf2
1
2
(-1+Sqrt[17])

PE
0.6744897502
ProbableErrorConstant
InverseErf
1
2
Sqrt[2]
ℒ
si
1.539600718
LiebSquareIceConstant
8
3
3
ZetaZero[1]
14.13472514
RiemannSiegelZFirstRoot
Root[{RiemannSiegelZ[#1]&,14.1347}]
C
AE
0.8269933431
AsymptoticEfficiencyConstant
3Sqrt[3]
2π
C
AFC
0.8722840411
TotalAreaOfFordCircles
45Zeta[3]
2
3
π
C
Da
1.346885252
DavisConstant
2
π
8Catalan
C
DPPC
0.9068996821
DensestPlanarPackingOfCirclesConstant
π
2Sqrt[3]
C
DSPS
0.7404804897
DensestSpatialPackingOfSpheresConstant
π
3Sqrt[2]
C
ETA
1.943596437
EulerTotientAConstant
315Zeta[3]
2
4
π
C
GW
0.1789797445
GibbsWilbrahamConstant
-1+
2SinIntegral[π]
π
x
min
1.461632145
GammaMinimalPointConstant
Root[{PolyGamma[0,#1]&,1.46163214496836234126265954233}]

3.246979604
SilverRoot
2+2Cos
2π
7

V
0.01739823925
TetrahedronTetrahedronPickingConstant
13
720
-
2
π
15015
C
BG
-1.487950664
BatemanGrosswaldConstant
Zeta
2
3

Zeta[2]
C
ES
2.173254313
ErdosSzekeresConstant
Zeta
3
2

Zeta[3]
C
GR
2.618033989
GoldenRootConstant
2+2Cos
2π
5

C
Is
0.4406867935
IsingConstant
1
2
Log[1+Sqrt[2]]
C
KCR
1.728647239
KalmarRhoCompositionConstant
Root[{-2+Zeta[#1]&,1.7286472389981836181351030103}]
C
PCD
0.03557621135
PercolationClusterDensityConstant
-
41
16
+
3Sqrt[3]
2
F
F
4.527829566
FreimanConstant
(2221564096+283748Sqrt[462])/491993569
ℒ
Lo
0.9702701144
LochsConstant
6Log[2]Log[10]
2
π

up
2.295587149
UniversalParabolicConstant
Log[1+Sqrt[2]]+Sqrt[2]
λ
GD
0.6243299885
GolombDickmanConstant
1
∫
0
LogIntegral[x.]

x.
s
let
0.3647918433
EquilateralTriangleLinePickingConstant
1
20
(4+3Log[3])
V
tc
0.01384277574
CubeTetrahedronPickingConstant
3977
216000
-
2
π
2160

2.718281828
E
∞
∑
k.=0
1
k.!
Gamma[
x
min
]
0.8856031944
GammaMinimalValueConstant
Gamma[Root[{PolyGamma[0,#1]&,1.46163214496836234126265954233}]]
C
D2BS
1.291285997
BernoulliSecondSophomoreDreamConstant
∞
∑
k.=1
-k.
k.
C
KL
1.186569110
KhinchinLevyConstant
2
π
12Log[2]
C
Le1
1.435991124
LebesgueFirstConstant
1
3
+
2Sqrt[3]
π
F
FR
2.807770242
FransenRobinsonConstant
∞
∫
0
1
Gamma[x.]
x.

Pell
0.5805775582
PellConstant
1-QPochhammer
1
2
,
1
4

ℛ
RTA
0.9877003907
ReuleauxTriangleSquareCuttingFraction
-3+
π
6
+2Sqrt[3]

0.4146825099
PrimeConstant
∞
∑
k.=1
-Primek.
2
C
CGr
1.404575935
ComplexGrothendieckConstantUpperBound
1/(-EllipticE[-1]+2EllipticK[-1])
C
RSIP
0.8928945715
ReciprocalSumOfIntegerPowersConstant
∞
∑
k.=1
-1+ZetaPrimek.
A
1.282427129
Glaisher
1
12
-Derivative[1][Inactive[Zeta]][-1]

C
AF
-0.2588194038
AiryFunctionConstant
-
1
1/3
3
Gamma
1
3

C
CR
1.156362684
CubicRecurrenceConstant
∞
∏
k.=1
-k.
3
k.

Khintchine

La constante de Khintchine est définie à l’aide des fractions continues.
Prenez un nombre réel x et écrivez sa fraction continue simple
Définissez la moyenne géométrique des n premiers quotients partiels a1, …, an par
Khintchine a démontré que, pour presque tous les nombres réels x (au sens de la mesure de Lebesgue), lim_{n→∞} Gn(x) = K0 converge vers une valeur constante.
Il existe un certain nombre de constantes liées.
Nous pouvons tracer ce qui se passe avec la constante principale :

Nombres transcendantaux de base

Les nombres transcendantaux de base pourraient chacun remplir un livre. Gardner a consacré plusieurs publications sur beaucoup d’entre eux.

Moyennes d’or et moyennes métalliques

Le nombre d’or est l’une des nombreuses constantes apparentées.
J’ai abordé beaucoup de ces points dans mon exposé intitulé : La magie des nombres algébriques.
Nous pouvons aussi diviser une surface correspondant à 200 feuilles de papier A4 en rectangles A4 plus petits.
Vous pouvez ainsi diviser un triangle 4-5-6 en cinq triangles semblables :
Les 27 droites de la surface de Clebsch sont toutes dans l’espace d’or.
De nombreux polyèdres utilisent un corps de nombres fondé sur le nombre d’or ϕ (la lettre grecque phi). Un polygone dans l’espace ϕ peut être translaté par les 60 éléments du groupe icosaédrique, se trouvant également dans l’espace ϕ.
La meilleure solution de 4 d’affilée avec 16 lignes pour 15 points se trouve dans l’espace ϕ. Les diagonales d’un décagone sont superposées.
La constante plastique est le plus petit des nombres de Pisot mentionnés dans l’introduction. La lettre grecque ρ (rho) est généralement utilisée pour indiquer la constante plastique. La forme radicale n’est pas particulièrement conviviale.
La constante plastique permet de diviser un carré en trois rectangles semblables. Les rapports des longueurs des côtés sont tous identiques.
Le rapport des termes voisins dans la suite de Padovan et la suite de Perrin tend vers ρ, comme indiqué dans les identités de spirales de Fibonacci et de Padovan, et la spirale de Padovan. Cette valeur engendre plusieurs fractales de Rauzy.
Voici GeometricScene en train de résoudre le problème :
Il existe une fractale auto-similaire pour ρ. Les nombres sur les lignes vertes indiquent la puissance particulière d’une racine complexe de ρ.
Le triangle fractal en plastique démontre une série infinie. Augmentez les itérations pour améliorer la fractale.
Voici un polynôme inhabituel construit à partir de composantes de la constante plastique.
Il s’agit d’une équation quartique rare avec des racines et des coefficients équivalents.
Voici un rectangle de rapport plastique divisé en sept triangles semblables en série.

Euler γ et apparentés

Le nombre harmonique est une somme de réciproques :
La constante d’Euler γ est la différence entre le nombre harmonique et le logarithme.
StieltjesGamma commence par EulerGamma.
La constante de Stirling donne une approximation pour les factorielles :
La constante de Glaisher–Kinkelin (environ 1,28243) permet des approximations pour les hyperfactorielles.
La constante de Fransen–Robinson (environ 2,80777) est définie par l’aire sous la réciproque de la fonction gamma.

L’empilement de cercles et la constante de Kontorovich-Oh

Considérez un empilement de cercles avec des courbures.
Cela conduit à une constante trouvée par Kontorovich-Oh : δ = 1,3056867280.
Listez les courbures avec multiplicité.
Le taux de croissance est
avec un empilement plus complexe, le coefficient du taux de croissance change.
{21, 24, 28, 40, 52, 61, 76, 85, 96, 117, 120, 132, 132, 156, 157, 160, 181, 189, 204, 205, 208, 213, 216, 237, 237, 244, 253, 253, 285, 288, 304, 309, 316, 316}

Diophantique métrique / Lüroth

Khintchine-Lévy : la n-ième racine du dénominateur du n-ième convergent de fraction continue converge vers
Nous pouvons examiner les convergents de Pi :
L’exposant seul est la constante de Lévy
Les analogues de Lüroth reprennent les mêmes idées et les déplacent des fractions continues aux séries de Lüroth, ce qui constitue une autre manière de représenter les nombres réels en découpant l’intervalle unité.
La constante de Lochs provient du théorème de Lochs et indique combien de termes de fraction continue sont nécessaires par chiffre décimal pour un nombre réel typique : chaque nouveau terme de fraction continue vaut presque un chiffre en base 10, et le « presque » est encodé dans cette constante.
Par exemple, avec Pi, le 20e convergent donne une précision de 20 décimales.

Normalité et constantes à chiffres premiers

Le nombre de Champernowne en base 10 met bout à bout 1, 2, 3, 4, ...
Les nombres de Champernowne ont des fractions continues inhabituelles.
La constante des nombres premiers est une représentation binaire des nombres premiers.

Errata and Addenda to Mathematical Constants de Steven Finch

Steven Finch a écrit deux livres sur le sujet : Mathematical Constants (2003) et Mathematical Constants 2 (2019)
En 2024, il a publié Errata and Addenda to Mathematical Constants : https://arxiv.org/pdf/2001.00578
À titre d’aparté, John Wallis (1616-1703) a utilisé cette constante pour illustrer la méthode de Newton.
La constante de Rittaud est un cubique similaire :

Constantes de séquence automatique

Ils sont liés à des séquences simples ayant une qualité fractale. Par exemple, la suite de Thue.

Motifs de nombres premiers et constantes d’Artin

La somme des inverses des nombres premiers diverge, un résultat classique d’Euler qui l’a approximée par Log[Log[PrimePi[n]]] - Log[Pi^2 /6].
Certains sous-ensembles des nombres premiers peuvent conduire à la convergence. Par exemple, Brun a démontré que la somme des réciproques des nombres premiers jumeaux converge.
Beaucoup plus de termes sont nécessaires pour atteindre la constante de Brun (pour les nombres premiers jumeaux) :
BrunPrimeQuadrupleConstant (~0,870588380000) : la constante analogue convergente de somme réciproque pour les quadruplets de nombres premiers (la constellation de 4 nombres premiers la plus dense, généralement (p, p+2, p+6, p+8)) : additionnez (1/p + 1/(p+2) + 1/(p+6) + 1/(p+8)) sur tous ces quadruplets.
La série alternée des inverses des nombres premiers : 1/2 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... converge vers environ 0,26960635197167.
Erdős-Borwein : ceci est la somme des inverses des nombres de Mersenne : Sum_{n>=1} 1/(2^n - 1) = 1,6066951524.
Constante de Backhouse : construite à partir de la série de puissances P(x)=1+2x+3x^2+5x^3+... (coefficients premiers).
Si Q(x)=1/P(x)=Sum q_k x^k, alors |q_{k+1}/q_k| tend vers la constante de Backhouse, environ 1,456074948.
Voici du code pour cela :
Un « nombre premier long » est un nombre pour lequel la longueur de la période décimale du réciproque est égale au nombre premier moins un. Ce sont aussi des nombres premiers pour lesquels 10 est une racine primitive.
ArtinConstant (~0,37395) : la constante d’Artin est la constante conjecturale de densité des nombres premiers longs.

Constantes liées à Ramanujan

RamanujanConstant. La constante de Ramanujan correspond au célèbre nombre « presque entier » Exp[Pi Sqrt[163]] qui se révèle être incroyablement proche d’un nombre entier.
RamanujanSecondContinuedFractionConstant. La constante de fraction continue de Ramanujan est une fraction continue avec q = Exp[-2 Pi Sqrt[5]], valeur de 0,99999920... (réciproque 1,000000791267...).
NivenConstant. La constante de Niven est 1 + Sum_{j>=2} (1 - 1/Zeta[j]) = 1,705211140105...

Probabilité et constantes algorithmiques

RandomHatConstant (~0,36787944117144233). La constante aléatoire du chapeau est la limite classique du « contrôle des chapeaux » : la probabilité que personne ne récupère son propre chapeau (de manière équivalente, qu’une permutation aléatoire n’ait aucun point fixe) tend vers 1/e. Ces résultats sont liés aux permutations de dérangement.
Six décimales de précision sont atteintes avec des permutations d’ordre 9 :
RenyiParkingConstant (~0,7475979202534114). La constante du parking de Renyi correspond au « stationnement séquentiel aléatoire » en 1D : la fraction limite de la ligne couverte lorsque vous placez des intervalles unitaires de manière aléatoire et uniforme jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de place.
GolombDickmanConstant (~0,62433). La constante de Colomb–Dickman est une constante de la théorie des probabilités qui apparaît lorsque vous étudiez des permutations aléatoires, en particulier la « taille typique » du plus grand cycle (en tant que fraction de n) lorsque n est grand.
FlajoletMartinConstant (~0,75782301126849283). La constante de Flajolet–Martin « phi » apparaît dans l’analyse de l’idée de comptage probabiliste de Flajolet–Martin.

Constantes du chaos et de la tétration

L’application logistique présente des bifurcations distinctes. Si vous examinez le rapport entre les dédoublements, vous obtenez la constante delta de Feigenbaum (~4,66920160910299). Voici du code venant de Weisstein et Trott :
FeigenbaumAlphaConstant (~2,50290787509589). La constante alpha de Feigenbaum est l’une des deux « constantes de Feigenbaum » ; alpha est le rapport d’échelle universel pour les largeurs/positions dans la route de doublement de période vers le chaos (par exemple : application logistique).

Constantes de tétration

ExponentialReiteratedConstant (~15,15426224147926). La constante exponentielle réitérée correspond à e^e et apparaît comme l’extrémité supérieure d’un intervalle standard de convergence dans les discussions sur les « tours de puissance » / les exposants itérés.
InfiniteTetrationOfI (~0,43828293672703 + 0,36059247187139 I). La tétration infinie de I correspond à la tour d’alimentation infinie (branche principale) i^(i^(i^(...))), c’est-à-dire un point fixe de x = i^x, exprimé via Lambert W / ProductLog.
HarmonicPowerTowerEvenTermLimit (~0,65836559926633). La limite de durée uniforme de la tour d’alimentation harmonique correspond à la limite de la « sous-séquence paire » de la tour d’alimentation harmonique (1/2)^(1/4)^...^(1/(2n)).
HarmonicPowerTowerOddTermLimit (~0,69034712611496). La limite des termes impairs de la tour d’alimentation harmonique correspond à la limite de la « sous-séquence impaire » de la tour d’alimentation harmonique (1/3)^(1/5)^...^(1/(2n+1)).

Constantes d’empilement et de pavage

DensestPlanarPackingOfCirclesConstant (~0,906899682117109, Pi/(2*Sqrt[3])). La constante d’empilement planaire le plus dense de cercles correspond à la densité maximale possible pour l’empilement de cercles congruents dans le plan (obtenue par l’empilement en réseau hexagonal/triangulaire).
DensestSpatialPackingOfSpheresConstant (~0,740480489693061, Pi/Sqrt[18]). La constante d’empilement spatial le plus dense de sphères correspond à la densité maximale possible pour l’empilement de sphères congruentes en 3D.
ApollonianCirclePackingConstant (~1,30568672804988). La constante d’empilement circulaire d’Apollonius correspond à la dimension de Hausdorff (résiduelle) d’un empilement de cercles d’Apollonius (cercles d’Apollonius).
ReuleauxTetrahedronVolume (~0,422157733115827) : volume du tétraèdre de Reuleaux.
ReuleauxTriangleSquareCuttingFraction (~0,987700390736053, 2*Sqrt[3] + Pi/6 - 3). La fraction de coupe carrée du triangle de Reuleaux est la fraction d’un carré unité recouverte (« découpée ») par un triangle de Reuleaux pivotant de largeur 1.
TotalAreaOfFordCircles (~0,872284041064697, (Pi/4)*(Zeta[3]/Zeta[4])). L’aire totale des cercles de Ford correspond à l’aire totale de tous les cercles de Ford entre 0 et 1.
DominoTilingConstant (~1,33851515197610, Exp[Catalan/Pi]). La constante de pavage de dominos est la constante de croissance exponentielle pour le nombre de pavages en dominos (appariements parfaits) de grandes grilles carrées.

Le plus grand des petits polygones

GrahamBiggestLittleHexagonAreaConstant (~0,6749814429301047036884958318514002889802). La constante de Graham correspond à l’aire du « plus grand des petits hexagones » (hexagone convexe d’aire maximale de diamètre 1 ; problème de Graham).
Un élément connexe est le plus grand des petits polyèdres où la plus grande distance entre sommets est égale à 1.

Constantes fractales et d’entropie

FractalDimensionKochSnowflake (~1,26185950714291) : dimension de Hausdorff (de capacité) de la courbe/flocon de Koch, log(4)/log(3).
SierpinskiTriangleFractalDimension (~1,58496250072116) : dimension de Hausdorff du triangle de Sierpiński (tamis), log(3)/log(2) = log_2(3).
La dimension de Hausdorff du bord du triangle fractal superdoré est de 1,0295240599,
La racine supérieure provient d’une matrice compagnon.
La dimension de Hausdorff de la frontière du triangle fractal plastique est 1,1002633850452.
La racine principale provient d’une matrice compagnon.

Salem, Lehmer, Pisot, cyclotomique

Constante de Catalan

La fonction DirichletBeta est définie comme
La constante de Catalan est la somme alternée des réciproques des carrés impairs :
Une autre formulation :

Constante de Foias

Un examen d’entrée pour l’Université de Bucarest demandait une valeur initiale qui tendait vers l’infini.
Mais le problème comportait une coquille. Foias l’a quand même résolu.

Constante de Grossman

Voici une récurrence avec une valeur unique pour la convergence.

Constantes de Trott et Wadsworth

Les constantes de Trott sont des décimales dont les chiffres donnent leur fraction continue, découvertes par Michael Trott.

Seuils de percolation (sites)

Percolation (vue d’ensemble) : considérez un réseau/graphe infini et « occupez » des éléments de manière indépendante avec une probabilité p.
​
Un amas arbitrairement grand se forme-t-il ? Quel est le seuil critique p_c auquel un amas de percolation infini/géant apparaît pour la première fois ?
​
Dans la percolation de sites, les sommets (sites) sont occupés avec une probabilité p et toutes les arêtes sont présentes.
Dans la percolation de liens, les arêtes (liens) sont occupées avec une probabilité p et tous les sommets sont présents.
PercolationThresholdSimpleCubicBond (~0,24881182) : seuil de percolation de liens p_c pour le réseau cubique simple en 3D.
PercolationThresholdSimpleCubicSite (~0,31160768) : seuil de percolation par sites p_c pour le réseau cubique simple en 3D.

Constantes de croissance des récurrences linéaires

La suite de Fibonacci :
La suite de Tribonacci est similaire.
Le rapport entre les termes est la constante de Tribonacci.
Les sommets d’un cube adouci peuvent être construits à l’aide des permutations signées de {1, 1/t, t} :

Logarithmes

Gardner a écrit plusieurs articles sur les logarithmes. Ils ont la propriété pratique selon laquelle le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes.

La constante de Gelfond et d’Apéry ζ(3)

Ces valeurs sont-elles transcendantes ? Le 7e problème de Hilbert portait sur elles.
Ce qui a conduit au théorème de Gelfond :
La prochaine valeur importante et transcendante démontrée a été la constante d’Apéry ζ(3) = Sum[1/n^3, {n,1,∞}].
AperyConstant (~1,20205690315959428540) : constante d’Apery.
Avant cela, un jeune Euler est devenu célèbre pour avoir résolu une somme infinie, connue sous le nom de problème de Bâle. Il a également résolu d’autres puissances paires.
ZetaOf2 (~1,64493406684822643647). Le zêta de 2 : ζ(2) = π^2/6.
Wikipédia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_de_Bâle
La caractérisation des valeurs zêta impaires est restée sans solution pendant des centaines d’années.
ζ(3) a été nommée d’après Apéry lorsqu’il a prouvé qu’elle était irrationnelle.

Constantes d’insouciance (carefree) et constantes de densité

Les nombres sont sans souci (carefree) s’ils sont premiers entre eux et que l’un d’eux est sans facteur carré.
CarefreeConstant (~0,42824950567709444). La constante d’insouciance est la densité (naturelle) pour  « couples insouciants ».
StronglyCarefreeConstant (~0,28674742843447873). Une constante d’insouciance profonde est une constante de densité pour une condition de coprimalité « sans souci » plus forte sur des paires .
AbundantNumberDensityConstant (~0,2476196). Une constante de densité numérique abondante est la densité asymptotique des nombres abondants (probabilité qu’un entier « aléatoire » soit abondant).

Constantes des arbres numériques et des arbres quaternaires

Les arbres de recherche (DST) et les arbres quaternaires numériques sont des structures de données classiques de type « diviser-et-mettre-en-seaux » pour la recherche et le stockage de clés (chaînes de bits pour les DST, points dans le plan pour les arbres quaternaires).
DigitalSearchTreeBetaConstant (~1,13733873634420). C’est la constante « bêta » utilisée dans l’analyse des arbres de recherche numériques ; égale à Sum_{k>=1} 1/(2^k - 1)^2 (également connue sous le nom de constante d’Erdős–Borwein).
DigitalTreeSearchLogSumConstant (~0,86887665265855). C’est la constante de somme logarithmique pour le fractionnement binaire : Sum_{k>=1} log(1 + 2^-k) = log(Product_{k>=1} (1 + 2^-k)).
​
DigitalSearchTreeQConstant (~0,28878809508660). C’est le produit infini q = Product_{k>=1} (1 - 2^-k) (une valeur de q-Pochhammer) qui apparaît comme une probabilité limite et dans les tables de constantes DST.
DigitalSearchTreeThetaConstant (~7,74313198551214). C’est la constante de DST (généralement notée thêta) qui apparaît dans des formules de valeur espérée pour des phénomènes de « vacance jumelle » dans les arbres numériques.
​
​QuadtreeConstant : la constante des arbres quaternaires est utilisée dans l’analyse classique de l’« occupation » des arbres quaternaires aléatoires, une constante standard est gamma1 = 40 - 4*Pi^2 (~0,52158239564257), et une autre est y1 = 3*gamma1 = 120 - 12*Pi^2 (~1,56474718692770).
​
QuadtreeLeafProportionConstant (~0,47841760435743). La constante de proportion des feuilles de l’arbre quaternaire correspond à la proportion de feuilles dans un modèle d’arbre quaternaire aléatoire. Elle est égale à 4*Pi^2 - 39.

La constante des 2/9èmes

Dans un xylophone jouet, des trous sont percés à 2/9ème de chaque extrémité. Plus précisément, ce sont les points nodaux ,224.
Le sel fin sur une barre vibrante se rassemble à environ 2/9éme depuis les extrémités. Pour un xylophone, un glockenspiel, un vibraphone ou une poutre libre-libre, les supports se trouvent aux 2/9ème points, ou aux points nodaux ,224L.
Avec des sinus et cosinus réguliers et hyperboliques, nous pouvons trouver un développement décimal précis de la distance entre l’extrémité et le nœud pour le premier mode de flexion vibratoire d’une poutre libre-libre de longueur unitaire. Ou le point aux deux neuvièmes.
Mais la précision supplémentaire n’aura pas d’importance lorsque vous percerez un trou dans une barre en métal.

Constantes des triplets pythagoriciens

Lehmer (1900) a montré que la fraction de triplets primitifs N(p) dont le périmètre est inférieur à p est

Inégalité et constantes de rapport géométrique

SteinerRatioOfTheEuclideanPlane : le rapport dans le pire des cas (sur tous les ensembles finis de points planaires) entre la longueur de l’arbre couvrant minimal euclidien et la longueur de l’arbre de Steiner minimal.

Défi des cent dollars

Le défi des cent dollars, cent chiffres a été organisé par Siam en 2002 afin de résoudre dix problèmes difficiles à dix décimales. Vingt équipes différentes ont résolu le problème.
Voici un article à ce sujet : Ten Problems in Experimental Mathematics, écrit par David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Vishaal Kapoor et Eric W. Weisstein.

Choix des constantes

Constantes trigonométriques

BuffonConstant (~0,63661977236758134308) : la constante de l’aiguille de Buffon 2/π (le coefficient dans la probabilité classique de croisement de lignes par une aiguille lorsque la longueur de l’aiguille ≤ l’espacement des lignes).
​
Degree (~0,01745329251994329577) : un degré en radians (π/180).
​
​DottieNumber (~0,73908513321516064166) : le nombre de Dottie est le point fixe réel de cos(x)=x.
​
MagicAngle (~0,95531661812450927816) : l’angle arccos(1/Sqrt[3]) (≈54,7356 °), reliant une arête du cube à une diagonale principale.
​
TetrahedralBondAngle (~1,91063323624901855633) : l’angle tétraédrique arccos(-1/3) (≈109,471 °).

Constante de Conway

1,
un 1,
deux 1,
un 2 un 1
ConwayConstant (~1,30357726903429639126) : la constante de Conway est le facteur de croissance limite de la suite « regarder et dire ».

Unités SI normalisées (16 novembre 2018) et constantes physiques

En 2019, le Système International d’unités (SI) définit ses sept grandeurs de base à l’aide de valeurs fixées de constantes physiques fondamentales. Ces constantes constituent le cœur de notre métrologie moderne.
Grandeurs de base et constantes correspondantes :
Dans son blog consacré aux unités SI, Michael Trott examine longuement ces constantes.
Ces constantes sont exactes par définition. Le SI ne repose plus sur des artefacts physiques.
Bien sûr, il y a aussi beaucoup de constantes physiques.
Le fait que les unités de base du SI soient désormais définies comme des nombres rationnels exacts est peut-être sous-estimé.
Voici l’une de nos pages qui parle des constantes physiques.

Non résolu

EulerGamma (constante d’Euler–Mascheroni [Gamma]) : constante [Gamma] est-elle rationnelle, algébrique ou transcendante ?
CatalanG (constante de Catalan G) : G est-elle irrationnelle (ou transcendante) ?
Zeta[3] (constante d’Apéry) : Zeta[3] est-elle transcendante ?
Zeta[5] : Zeta[5] est-elle irrationnelle ?
Valeurs impaires de zêta : Zeta[3], Zeta[5], Zeta[7] sont-elles linéairement indépendantes sur les rationnels ?
E et Pi : E et Pi sont-ils algébriquement indépendants ?
E + Pi : E + Pi est-il irrationnel (ou transcendant) ?
E Pi : E Pi est-il irrationnel (ou transcendant) ?
2^Pi : 2^Pi est-il transcendant ?
Pi^E : Pi^E est-il transcendant ?
E^E : E^E est-il transcendant ?
Constante de Khinchin K0 : K0 est-elle algébrique ou transcendante ?
FeigenbaumDelta ([Delta]) : le delta de Feigenbaum [Delta] est-il algébrique ou transcendant ?
Constante oméga ([CapitalOmega], solution de [CapitalOmega] Exp[[CapitalOmega]] == 1) : [CapitalOmega] est-elle algébrique ou transcendante ?
Constante de Lehmer / problème de Lehmer : la plus basse des mesures de Mahler des entiers algébriques non cyclotomiques est-elle égal à 1, ou est-elle strictement supérieur à 1 ?
Quelle est la valeur exacte de la constante de Bloch ?
Quelle est la valeur exacte de la constante de Landau ?
Quelle est la valeur exacte de la constante de Grothendieck réelle K_G^R ?
Quelle est la valeur exacte de la constante de Grothendieck complexe K_G^C ?
Quelle est la valeur exacte de la constante de Grothendieck réelle d’ordre 3 K_G^R(3) ?
Problème du ver de Moser : 0,232239 -- 0,270911861
Quelle est la densité d’empilement de sphères en 5D ? 0,4653 -- 0,51264513

CITER CE NOTEBOOK

Jeux mathématiques : constantes mathématiques​
par Ed Pegg​
Communauté Wolfram, CHOIX DE L’ÉQUIPE, 18 décembre 2025
​https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/3593941