Juegos matemáticos: Constantes matemáticas

por Ed Pegg
Este cuaderno es una traducción al español del artículo de la Comunidad Wolfram “Mathematical Games: mathematical constants” producido con ayuda de un LLM y verificado por un traductor profesional
Parte de una serie de presentaciones en vivo llamada Juegos matemáticos, en la cual exploramos una variedad de juegos y acertijos utilizando Wolfram Language.
En este episodio, exploramos constantes matemáticas.

demonstrations.wolfram.com

Muchas demostraciones funcionan con constantes matemáticas.

Constantes definidas

In[]:=
defined={Pi,E,Degree,GoldenRatio,GoldenAngle,EulerGamma,Catalan,Glaisher,Khinchin,StieltjesGamma[1],ChampernowneNumber[10]};
In[]:=
Grid[{TraditionalForm[#],N[#]}&/@defined]
Out[]=
π
3.14159

2.71828
°
0.0174533
ϕ
1.61803
GoldenAngle
2.39996

0.577216
C
0.915966
A
1.28243
K
2.68545
γ
1
-0.0728158
C
10
0.123457

Entity[“MathematicalConstant”]

Actualmente, Mathematica cuenta con 436 entidades de constantes matemáticas. La lista y las propiedades se pueden ver con:
In[]:=
EntityList["MathematicalConstant"]
EntityProperties["MathematicalConstant"]
Aquí tenemos algunas:
In[]:=
constant=EntityList["MathematicalConstant"];
In[]:=
Short[constant,1]
Out[]//Short=

abundant number density constant
,
arithmetic-geometric mean constant
,
Airy function constant
,
Alladi-Grinstead constant
,
alternating series of reciprocal primes constant
,
Apéry constant
,
Apollonian circle-packing constant
,
Artin constant
,
asymptotic efficiency constant
,
Atkinson-Negro-Santoro constant
,
Backhouse constant
,
second Backhouse constant
,
Baker constant
,
ball tetrahedron-picking constant
,
Barban constant
,
Bateman A constant
,
Bateman B constant
,
Bateman-Grosswald constant
,
Bateman-Stemmler constant
,
Baxter four-coloring constant
,
Bender A constant
,
Bender r constant
,
first Bernoulli sophomore dream constant
,
second Bernoulli sophomore dream constant
,
Bernstein constant
,
Bessel
J
0
first root constant
,
birthday problem constant
,
Bloch constant conjectured value
,
Boyd constant
,
Brown-Wang constant
,
Brun constant
,
Brun prime quadruple constant
,
Buffon constant
,
Cahen constant
,
Calabi ratio
,
carefree constant
,
carefree product constant
,
Carlson-Levin constant
,
Catalan constant
,
Chaitin constant
,
Champernowne base-2 constant
,
Champernowne base-3 constant
,
Champernowne constant
,
common logarithm of 3
,
common logarithm of 
,
common logarithm of π
,
complex Grothendieck constant upper bound
,
conic constant
,
continued fraction constant
,
Conway constant
,
Conway-Guy constant
,
Copeland-Erdős constant
,
real fixed point of coth(z)
,
cube face line-picking constant
,
cube-free word constant
,326,
square root of 5
,
square root of 
,
square root of 
,
standard Gumbel distribution median
,
Steiner number
,
Steiner ratio of the Euclidean plane
,
Steinitz constant of the Euclidean plane
,
Stephens constant
,
Stieltjes constant
,
strongly carefree constant
,
strongly carefree product constant
,
strongly triple-free set constant
,
Takeuchi-Prellberg constant
,
smallest positive root of the tanc function
,
Taniguchi constant
,
Tarannikov constant
,
tetrahedral bond angle
,
tetrahedron tetrahedron-picking constant
,
tetranacci constant
,
Theodorus constant
,
Thue constant
,
Thue-Morse constant
,
total area of Ford circles
,
totient constant
,
totient product constant
,
triangular root of two
,
tribonacci constant
,
first Trott constant
,
second Trott constant
,
third Trott constant
,
twenty-vertex entropy constant
,
twin primes constant
,
two-arc beam detection constant
,
ubiquitous constant
,
unforgeable word constant
,
unit-diameter hexagon area
,
universal parabolic constant
,
Vallée constant
,
van der Corput constant
,
van der Pauw constant
,
Vardi constant
,
Varga constant
,
Viswanath constant
,
Wadsworth constant
,
Wallis constant
,
weakly carefree constant
,
Weierstrass constant
,
White House switchboard constant
,
Whittaker-Goncharov constant
,
Wilbraham-Gibbs constant
,
Wright constant
,
Wyler constant
,
first non-trivial root of the Riemann zeta function
,
Riemann ζ of 2
,
Zolotarev-Schur constant


Una cuadrícula de constantes

Estas son algunas de las constantes.
In[]:=
GridTakeSortByTableEntityValue[constant[[index]],#]&/@
traditional notation
,
short numerical approximation
,"CanonicalName",
defining formula
,{index,1,318},LeafCount[Last[#]]&,120
Out[]=
C
MDT
2.356527353
MonomerDimerTriangularConstant
MonomerDimerTriangularConstant
ProductLog[1]
0.5671432904
OmegaConstant
ProductLog[1]
ChampernowneNumber[3]
0.5989581675
ChampernowneBase3Constant
ChampernowneNumber[3]
C
CL
1.772453851
CarlsonLevinConstant
Sqrt[π]
C
CLE
0.4342944819
CommonLogOfE
Log10[]
C
CLP
0.4971498727
CommonLogOfPi
Log10[π]
C
CLT
0.4771212547
CommonLogOf3
Log10[3]
C
EEG
1.781072418
ExpEulerGammaConstant
EulerGamma

C
ER
15.15426224
ExponentialReiteratedConstant


C
Fr
6.580885991
FrodaConstant

2
C
INE
0.3678794412
ReciprocalOfE
1

C
IPi
0.3183098862
ReciprocalOfPi
1
π
C
Ko
4.307692308
KornConstant
56
13
C
LGR
0.4812118251
LogOfGoldenRatio
Log[GoldenRatio]
C
LK
0.9878490568
LogOfKhinchinConstant
Log[Khinchin]
C
Pi2
9.869604401
PiSquaredConstant
2
π
C
PiPPi
36.46215961
PiPowerPiConstant
π
π
C
REM
1.732454715
ReciprocalOfEulerGamma
1
EulerGamma
C
SR5
2.236067977
SquareRootOf5
Sqrt[5]
C
SRE
1.648721271
SquareRootOfE
Sqrt[]

A
1.202056903
AperyConstant
Zeta[3]

Ch
0.1234567891
ChampernowneConstant
ChampernowneNumber[10]

Ch2
0.8622401259
ChampernowneBase2Constant
ChampernowneNumber[2]

ln 10
2.302585093
LogOf10
Log[10]

ln 2
0.6931471806
LogOf2
Log[2]

Ge
23.14069263
GelfondConstant
π


P
1.414213562
PythagorasConstant
Sqrt[2]

T
1.732050808
TheodorusConstant
Sqrt[3]
ℐ
0.06598803585
EPowerNegativeEConstant
-

°
0.01745329252
Degree
π
180
C
BTP
0.05272603055
BallTetrahedronPickingConstant
12π
715
C
Bu
0.6366197724
BuffonConstant
2
π
C
CN
1.444667861
SteinerNumber
1


C
Co
-7.389056099
ConicConstant
-
2

C
DFA
0.4472135955
DiophantineApproximation1DConstant
1
Sqrt[5]
C
F
1.570796327
FavardConstant
π
2
C
MGS
0.4636476090
MachinGregorySeriesConstant
ArcTan
1
2

C
Pip
1.359140914
PippengerProductConstant

2
C
REEG
0.5614594836
ReciprocalExpOfEulerGamma
-EulerGamma

C
RFS
1.273239545
RamanujanForsythSeriesConstant
4
π

d
0.2915609040
DominoTilingConstant
Catalan
π

De
1.259921050
DelianConstant
1/3
2

GS
2.665144143
GelfondSchneiderConstant
Sqrt[2]
2
δ
S
2.414213562
SilverRatio
1+Sqrt[2]
θ
m
0.9553166181
MagicAngle
ArcSec[Sqrt[3]]
θ
t
1.910633236
TetrahedralBondAngle
ArcCos-
1
3

G
Go
0.5963473623
GompertzConstant
-ExpIntegralEi[-1]

GA
2.399963230
GoldenAngle
(2π)/
2
GoldenRatio
R
2.625374126×
17
10
RamanujanConstant
Exp[πSqrt[163]]
2
π
6
1.644934067
ZetaOf2
2
π
6
c
J
4.810477381
JohnConstantLowerBound
-

C

0.5396454912
IoachimescuConstant
2+Zeta
1
2

C
GS
1.358456274
GoldenSpiralConstant
2/π
GoldenRatio
C
H
1.154700538
Hermite2DConstant
2
Sqrt[3]
C
ISN
0.6922006276
ReciprocalOfSteinerNumber
-1/

C
MGD
0.3665129206
StandardGumbelDistributionMedian
-Log[Log[2]]
C
NR
0.8224670334
NielsenRamanujanFirstIntegral
2
π
12
C
QL
0.4784176044
QuadtreeLeafProportionConstant
-39+4
2
π
C
RMM
0.8660254038
SteinerRatioOfTheEuclideanPlane
Sqrt[3]
2
C
St
1.118033989
SteinitzConstant
Sqrt[5]
2
C
VDP
4.532360142
VanDerPauwConstant
π
Log[2]

PTP
0.07023049277
PythagoreanTriplePerimeterConstant
Log[2]
2
π
ℱ
FF
1.226742011
FibonacciFactorialConstant
QPochhammer-1
2
GoldenRatio


A
0.1591549431
PythagoreanTripleHypotenuseConstant
1
2π

20VE
2.598076211
TwentyVertexEntropyConstant
3Sqrt[3]
2
A
td
0.07388002974
DiskTrianglePickingConstant
35
48
2
π
s
ld
0.9054147874
DiskLinePickingConstant
128
45π
C
DSTQ
0.2887880951
DigitalSearchTreeQConstant
QPochhammer
1
2
,
1
2

C
Gi
1.178979744
GibbsConstant
1
π
2SinIntegral[π]
C
RKL
0.8427659133
ReciprocalKhinchinLevyConstant
12Log[2]
2
π

d
1.791622812
Dimer2DConstant
2Catalan
π

μ
1.451369235
SoldnerConstant
Root[{LogIntegral[#1]&,1.45136923488338105028396848589}]
ϕ
1.618033989
GoldenRatio
1
2
(1+Sqrt[5])
C
FDKS
1.261859507
FractalDimensionKochSnowflake
Log[4]
Log[3]
C
HD
1.584962501
SierpinskiTriangleFractalDimension
Log[3]
Log[2]
C
La
0.7252064830
LangfordConstant
97
150
+
π
40
C
MCE
3.420132882
MeanderCriticalExponent
1
12
(29+Sqrt[145])
C
RC
0.7044798810
RectilinearCrossingConstant
1-
35
12
2
π
C
RPA
3.141592654
RamanujanPiApproximationConstant
Log[262537412640768000]/Sqrt[163]
C
SDBR
0.1945280495
DuBoisReymondSecondConstant
1
2
(-7+
2

)
C
TR2
1.561552813
TriangularRootOf2
1
2
(-1+Sqrt[17])

PE
0.6744897502
ProbableErrorConstant
InverseErf
1
2
Sqrt[2]
ℒ
si
1.539600718
LiebSquareIceConstant
8
3
3
ZetaZero[1]
14.13472514
RiemannSiegelZFirstRoot
Root[{RiemannSiegelZ[#1]&,14.1347}]
C
AE
0.8269933431
AsymptoticEfficiencyConstant
3Sqrt[3]
2π
C
AFC
0.8722840411
TotalAreaOfFordCircles
45Zeta[3]
2
3
π
C
Da
1.346885252
DavisConstant
2
π
8Catalan
C
DPPC
0.9068996821
DensestPlanarPackingOfCirclesConstant
π
2Sqrt[3]
C
DSPS
0.7404804897
DensestSpatialPackingOfSpheresConstant
π
3Sqrt[2]
C
ETA
1.943596437
EulerTotientAConstant
315Zeta[3]
2
4
π
C
GW
0.1789797445
GibbsWilbrahamConstant
-1+
2SinIntegral[π]
π
x
min
1.461632145
GammaMinimalPointConstant
Root[{PolyGamma[0,#1]&,1.46163214496836234126265954233}]

3.246979604
SilverRoot
2+2Cos
2π
7

V
0.01739823925
TetrahedronTetrahedronPickingConstant
13
720
-
2
π
15015
C
BG
-1.487950664
BatemanGrosswaldConstant
Zeta
2
3

Zeta[2]
C
ES
2.173254313
ErdosSzekeresConstant
Zeta
3
2

Zeta[3]
C
GR
2.618033989
GoldenRootConstant
2+2Cos
2π
5

C
Is
0.4406867935
IsingConstant
1
2
Log[1+Sqrt[2]]
C
KCR
1.728647239
KalmarRhoCompositionConstant
Root[{-2+Zeta[#1]&,1.7286472389981836181351030103}]
C
PCD
0.03557621135
PercolationClusterDensityConstant
-
41
16
+
3Sqrt[3]
2
F
F
4.527829566
FreimanConstant
(2221564096+283748Sqrt[462])/491993569
ℒ
Lo
0.9702701144
LochsConstant
6Log[2]Log[10]
2
π

up
2.295587149
UniversalParabolicConstant
Log[1+Sqrt[2]]+Sqrt[2]
λ
GD
0.6243299885
GolombDickmanConstant
1
∫
0
LogIntegral[x.]

x.
s
let
0.3647918433
EquilateralTriangleLinePickingConstant
1
20
(4+3Log[3])
V
tc
0.01384277574
CubeTetrahedronPickingConstant
3977
216000
-
2
π
2160

2.718281828
E
∞
∑
k.=0
1
k.!
Gamma[
x
min
]
0.8856031944
GammaMinimalValueConstant
Gamma[Root[{PolyGamma[0,#1]&,1.46163214496836234126265954233}]]
C
D2BS
1.291285997
BernoulliSecondSophomoreDreamConstant
∞
∑
k.=1
-k.
k.
C
KL
1.186569110
KhinchinLevyConstant
2
π
12Log[2]
C
Le1
1.435991124
LebesgueFirstConstant
1
3
+
2Sqrt[3]
π
F
FR
2.807770242
FransenRobinsonConstant
∞
∫
0
1
Gamma[x.]
x.

Pell
0.5805775582
PellConstant
1-QPochhammer
1
2
,
1
4

ℛ
RTA
0.9877003907
ReuleauxTriangleSquareCuttingFraction
-3+
π
6
+2Sqrt[3]

0.4146825099
PrimeConstant
∞
∑
k.=1
-Primek.
2
C
CGr
1.404575935
ComplexGrothendieckConstantUpperBound
1/(-EllipticE[-1]+2EllipticK[-1])
C
RSIP
0.8928945715
ReciprocalSumOfIntegerPowersConstant
∞
∑
k.=1
-1+ZetaPrimek.
A
1.282427129
Glaisher
1
12
-Derivative[1][Inactive[Zeta]][-1]

C
AF
-0.2588194038
AiryFunctionConstant
-
1
1/3
3
Gamma
1
3

C
CR
1.156362684
CubicRecurrenceConstant
∞
∏
k.=1
-k.
3
k.

Khinchin

La constante de Khinchin se define utilizando fracciones continuas.
Tome un número real x y escriba su fracción continua simple
Defina la media geométrica de los primeros n cocientes parciales a1, …, an mediante
Khinchin demostró que para casi todos los números reales x (en el sentido de la medida de Lebesgue),
lim_{n→∞} Gn(x) = K0, tiende a un valor constante.
Hay varias constantes relacionados.
Podemos representar lo que ocurre con la constante principal:

Números trascendentales fundamentales

Cada uno de los números trascendentales fundamentales podría llenar un libro. Gardner escribió sobre varios de ellos.

Razones áurea y metálicas

La razón áurea es una de varias constantes relacionadas.
Hablé de muchos de estos temas en mi charla Magia con números algebraicos.
También podemos dividir una hoja de papel A4 de área 200 en rectángulos A4 más pequeños.
Por lo tanto, puede dividir un triángulo 4-5-6 en cinco triángulos semejantes:
Las 27 rectas de la superficie de Clebsch están todas en el espacio áureo.
Muchos poliedros utilizan un cuerpo numérico basado en la razón áurea ϕ (letra griega phi). Un polígono en el espacio-ϕ puede ser trasladado por los 60 elementos del grupo icosaédrico, que también se encuentra en el espacio-ϕ.
La mejor solución de 4 en línea con 16 líneas para 15 puntos está en el espacio ϕ. Se superponen las diagonales de un decágono.
La constante plástica es la más pequeña de los números de Pisot mencionados en la introducción. Generalmente, se utiliza la letra griega ρ (rho) para indicar la constante plástica. La forma radical no es especialmente amigable.
La constante plástica permite que un cuadrado se divida en tres rectángulos semejantes. Las proporciones de los lados son todas iguales.
La razón entre términos vecinos tanto en la sucesión de Padovan como en la sucesión de Perrin tiende a ρ, como se muestra en Identidades en espiral de Fibonacci y Padovan, y en la Espiral de Padovan. Este valor genera varios fractales de Rauzy.
Aquí GeometricScene resuelve el problema:
Existe un fractal autosimilar para ρ. Los números en las líneas verdes indican una determinada potencia de una raíz compleja de ρ.
El triángulo fractal plástico demuestra una serie infinita. Aumente las iteraciones para mejorar el fractal.
Aquí hay un polinomio inusual construido a partir de componentes de la constante plástica.
Esta es una ecuación cuártica poco común con raíces y coeficientes equivalentes.
Aquí hay un rectángulo de razón plástica dividido en siete triángulos semejantes en serie.

Euler γ y sus parientes

El número armónico es una suma de recíprocos:
Euler γ es la diferencia entre el número armónico y el logaritmo
StieltjesGamma comienza con EulerGamma
La constante de Stirling proporciona una aproximación para los factoriales:
La constante de Glaisher–Kinkelin (aproximadamente 1.28243) permite aproximaciones para los hiperfactoriales.
La constante de Fransen–Robinson (aproximadamente 2.80777) se define por el área bajo el recíproco de la función gamma.

Empaquetamiento de círculos y la constante de Kontorovich-Oh

Tome un empaquetamiento de círculos con curvaturas.
Esto conduce a una constante encontrada por Kontorovich-Oh: δ=1.3056867280
Enumere las curvaturas con multiplicidad
La tasa de crecimiento es
Con un empaquetamiento más complejo, el coeficiente para la tasa de crecimiento cambia.
{21, 24, 28, 40, 52, 61, 76, 85, 96, 117, 120, 132, 132, 156, 157, 160, 181, 189, 204, 205, 208, 213, 216, 237, 237, 244, 253, 253, 285, 288, 304, 309, 316, 316}

Diofántico métrico / Lüroth

Khinchin-Lévy: la raíz n-ésima del denominador del n-ésimo convergente de fracciones continuas converge a
Podemos observar los convergentes de Pi:
El exponente por sí solo es la constante de Lévy
Los análogos de Lüroth toman las mismas ideas y las trasladan de las fracciones continuas a las series de Lüroth, que son otra manera de representar números reales dividiendo el intervalo unidad.
La constante de Lochs proviene del teorema de Lochs y le indica cuántos términos de fracción continua necesita por cada dígito decimal para un número real típico: cada nuevo término de fracción continua equivale a casi un dígito en base 10, y ese “casi” está codificado en esta constante.
Por ejemplo, con Pi, el vigésimo convergente proporciona 20 decimales de precisión.

Constantes de normalidad y dígito primo

El número de Champernowne en base 10 une 1, 2, 3, 4, ...
Los números de Champernowne tienen fracciones continuas inusuales.
La constante prima es una representación binaria de los números primos.

Steven Finch, Errata y Addenda to Mathematical Constants

Steven Finch escribió dos libros sobre el tema: Mathematical Constants (2003) y Mathematical Constants 2 (2019)
En 2024, publicó Errata y Addenda to Mathematical Constants: https://arxiv.org/pdf/2001.00578
Como nota al margen, John Wallis (1616-1703) utilizó esta constante para ilustrar el método de Newton.
La constante de Rittaud es un cúbico similar:

Constantes de secuencia automáticas

Estos están relacionados con secuencias simples que poseen una cualidad fractal. Por ejemplo, la secuencia de Thue.

Constantes de patrón primo y de Artin

La suma de los recíprocos de los números primos diverge, un resultado clásico de Euler,
quien la aproximó como Log[Log[PrimePi[n]]] - Log[Pi^2 /6].
Los subconjuntos de los primos pueden conducir a la convergencia. Por ejemplo, Brun demostró que la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge.
Se necesitan muchos más términos para llegar a BrunConstant (la constante de Brun para los primos gemelos):
BrunPrimeQuadrupleConstant (~0.870588380000): La constante análoga de suma recíproca convergente para los cuatrillizos de números primos (la constelación de 4 primos más densa, usualmente (p, p+2, p+6, p+8)): suma (1/p + 1/(p+2) + 1/(p+6) + 1/(p+8)) sobre todos esos cuatrillizos.
La serie alternante de los recíprocos de los números primos: 1/2 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... converge a aproximadamente 0.26960635197167.
Erdős-Borwein: Esta es la suma de los recíprocos de los números de Mersenne: Sum_{n>=1} 1/(2^n - 1) = 1.6066951524.
Constante de Backhouse: construida a partir de la serie de potencias P(x)=1+2x+3x^2+5x^3+... (coeficientes primos).
Si Q(x)=1/P(x)=Suma q_k x^k, entonces |q_{k+1}/q_k| tiende a la constante de Backhouse, aproximadamente 1.456074948.
Aquí está el código para eso:
Un “primo largo” es aquel en el que la longitud del decimal periódico para el recíproco es una menos que el primo. Estos también son primos donde 10 es una raíz primitiva.
ArtinConstant (~0.37395): La constante de densidad conjetural de los primos largos.

Constantes relacionadas con Ramanujan

Constante de Ramanujan. Este es el famoso número "casi entero" Exp[Pi Sqrt[163]], que resulta increíblemente cercano a un número entero.
Constante de la segunda fracción continua de Ramanujan. Una fracción continua con q = Exp[-2 Pi Sqrt[5]], valor 0.99999920... (recíproco 1.000000791267...).
Constante de Niven. La constante de Niven es 1 + Sum_{j>=2} (1 - 1/Zeta[j]) = 1.705211140105...

Constantes probabilísticas y algorítmicas

RandomHatConstant (~0.36787944117144233): El límite clásico del “problema del sombrero”: la probabilidad de que nadie reciba su propio sombrero de vuelta (de manera equivalente, que una permutación aleatoria no tenga puntos fijos) tiende a 1/e. Estos están relacionados con las permutaciones de Derangement.
Se alcanza una precisión de seis decimales con permutaciones de orden 9:
RenyiParkingConstant (~0.7475979202534114): La constante clásica de “aparcamiento secuencial aleatorio” en 1D: la fracción límite de la línea que queda cubierta cuando se aparcan intervalos unitarios de manera uniforme y aleatoria hasta que ya no cabe ninguno más.
GolombDickmanConstant (~0.62433): Una constante de la teoría de la probabilidad que aparece al estudiar permutaciones aleatorias, especialmente el “tamaño típico” del ciclo más grande (como fracción de n) cuando n es grande.
FlajoletMartinConstant (~0.75782301126849283): Esta constante “phi” aparece en el análisis de la idea de conteo probabilístico de Flajolet–Martin.

Constantes del caos y la tetración

El mapa logístico presenta bifurcaciones distintas. Si observa la razón entre duplicaciones, obtiene la FeigenbaumDeltaConstant (~4.66920160910299).
Aquí hay un código de Weisstein y Trott:
FeigenbaumAlphaConstant (~2.50290787509589): Una de las dos “constantes de Feigenbaum”; alpha es la razón de escala universal para las anchuras/posiciones en la ruta de duplicación de periodo hacia el caos (por ejemplo, el mapa logístico).

Constantes de tetración

ExponentialReiteratedConstant (~15.15426224147926): Esto es e^e; aparece como el extremo superior de un rango de convergencia estándar en discusiones sobre “torres de potencias” o exponentes iterados.
InfiniteTetrationOfI (~0.43828293672703 + 0.36059247187139 I): La torre de potencias infinita (rama principal) i^(i^(i^(...))), es decir, un punto fijo de x = i^x, expresado mediante Lambert W / ProductLog.
HarmonicPowerTowerEvenTermLimit (~0.65836559926633): El límite de la “subsecuencia par” de la torre de potencias armónica (1/2)^(1/4)^...^(1/(2n)).
HarmonicPowerTowerOddTermLimit (~0.69034712611496): El límite de la "subsecuencia impar" de la torre de potencias armónica (1/3)^(1/5)^...^(1/(2n+1)).

Constantes de empaquetamiento y teselado

DensestPlanarPackingOfCirclesConstant (~0.906899682117109, Pi/(2*Sqrt[3])): Densidad máxima posible para el empaquetamiento de círculos congruentes en el plano (alcanzada por el empaquetamiento en red hexagonal/triangular).
DensestSpatialPackingOfSpheresConstant (~0.740480489693061, Pi/Sqrt[18]): Densidad máxima posible para el empaquetamiento de esferas congruentes en 3D.
ApollonianCirclePackingConstant (~1.30568672804988): dimensión de Hausdorff (residual) de un empaquetamiento de círculos apolonianos (junta apoloniana).
ReuleauxTetrahedronVolume (~0.422157733115827): volumen del tetraedro de Reuleaux
ReuleauxTriangleSquareCuttingFraction (~0.987700390736053, 2*Sqrt[3] + Pi/6 - 3): Fracción de un cuadrado unitario cubierta ("recortada") por un triángulo de Reuleaux giratorio de anchura 1.
TotalAreaOfFordCircles (~0.872284041064697, (Pi/4)*(Zeta[3]/Zeta[4])): Área total de todos los círculos de Ford entre 0 y 1.
DominoTilingConstant (~1.33851515197610, Exp[Catalan/Pi]): Constante de crecimiento exponencial para el número de recubrimientos por dominós (emparejamientos perfectos) de grandes cuadrículas cuadradas.

El polígono pequeño más grande

GrahamBiggestLittleHexagonAreaConstant (~0.6749814429301047036884958318514002889802): Área del "hexágono más grande y pequeño" (hexágono convexo de área máxima y diámetro 1; problema de Graham).
Un elemento relacionado es el poliedro pequeño más grande, donde la mayor distancia entre los vértices es 1.

Constantes fractales y de entropía

FractalDimensionKochSnowflake (~1.26185950714291)—dimensión de Hausdorff (capacidad) de la curva/copo de nieve de Koch, log(4)/log(3).
SierpinskiTriangleFractalDimension (~1.58496250072116): dimensión de Hausdorff del triángulo (rejilla) de Sierpiński, log(3)/log(2) = log_2(3).
La dimensión de Hausdorff de la frontera del triángulo fractal superdorado es 1.0295240599,
La raíz superior proviene de una matriz compañera.
La dimensión de Hausdorff del borde del triángulo fractal plástico es 1.1002633850452,
La raíz principal proviene de una matriz compañera.

Salem, Lehmer, Pisot, Ciclotómico

Constante de Catalan

La función DirichletBeta se define como
La constante de Catalan es la suma alternada de los recíprocos de los cuadrados impares:
Otra formulación:

Constante de Foias

Un examen de ingreso para la Universidad de Bucarest pidió un valor inicial que tendía a infinito.
Pero el problema tenía un error de impresión. Foias lo resolvió de todas formas.

La constante de Grossman

Aquí hay una recurrencia con un valor único para la convergencia.

Constantes de Trott y Wadsworth

Las constantes de Trott son decimales cuyos dígitos proporcionan su fracción continua, encontradas por Michael Trott.

Umbrales de percolación (sitio)

Percolación (resumen general): Considere una red/grafo infinito y “ocupe” elementos de manera independiente con probabilidad p.
​
¿Se forma un conjunto conectado de tamaño arbitrariamente grande? ¿Cuál es el umbral crítico p_c en el que aparece por primera vez un conjunto percolante infinito o gigante?
​
En la percolación de sitios, los vértices (sitios) se ocupan con probabilidad p y todas las aristas están presentes.
En la percolación de enlaces, las aristas (enlaces) se ocupan con probabilidad p y todos los vértices están presentes.
PercolationThresholdSimpleCubicBond (~0.24881182): Umbral de percolación por enlaces p_c para la red cúbica simple 3D.
PercolationThresholdSimpleCubicSite (~0.31160768): Umbral de percolación por sitios p_c para la red cúbica simple 3D.

Constantes de crecimiento de recurrencias lineales

La sucesión de Fibonacci:
La sucesión de tribonacci es similar.
La razón entre los términos es la constante tribonacci.
Los vértices de un cubo sesgado pueden formarse con permutaciones con signo de {1, 1/t, t}:

Logaritmos

Gardner escribió varias columnas sobre logaritmos. Estos tienen la útil propiedad de que el logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos.

La constante de Gelfond y Apéry ζ(3)

¿Son estos valores trascendentales? El séptimo problema de Hilbert preguntó sobre ellos.
Esto llevó al teorema de Gelfond:
El siguiente valor importante demostrado como trascendental fue la constante de Apéry ζ(3) = Sum[1/n^3, {n,1,∞}].
AperyConstant (~1.20205690315959428540):
Antes de eso, un joven Euler se hizo famoso por resolver una suma infinita, conocida como el problema de Basilea. También resolvió algunas otras potencias pares.
ZetaOf2 (~1.64493406684822643647): ζ(2) = π^2/6.
Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
La caracterización de los valores impares de zeta permaneció sin resolver durante cientos de años.
ζ(3) fue nombrada en honor a Apéry cuando él demostró que es irracional.

Constantes de despreocupación y de densidad

Los números son carefree si son coprimos y uno es libre de cuadrados.
CarefreeConstant (~0.42824950567709444): La densidad (natural) para “parejas despreocupadas”:
StronglyCarefreeConstant (~0.28674742843447873): Constante de densidad para una condición de coprimalidad “despreocupada” más fuerte en pares
AbundantNumberDensityConstant (~0.2476196): Densidad asintótica de los números abundantes (probabilidad de que un número entero "aleatorio" sea abundante).

Constantes de árbol digital y quadtree

Los árboles de búsqueda digitales (DSTs) y los quadtrees son estructuras de datos clásicas de “dividir y agrupar” para buscar y almacenar claves (cadenas de bits en el caso de los DSTs y puntos en el plano en el caso de los quadtrees).
DigitalSearchTreeBetaConstant (~1.13733873634420): La constante “beta” utilizada en el análisis de árboles de búqueda digital; igual a Sum_{k>=1} 1/(2^k - 1)^2 (también conocida como la constante de Erdős–Borwein).
DigitalTreeSearchLogSumConstant (~0.86887665265855): Constante de suma logarítmica para la división binaria: Sum_{k>=1} log(1 + 2^-k) = log(Product_{k>=1} (1 + 2^-k)).
​
DigitalSearchTreeQConstant (~0.28878809508660): Producto infinito q = Product_{k>=1} (1 - 2^-k) (un valor q-Pochhammer); aparece como una probabilidad límite y en tablas de constantes DST.
DigitalSearchTreeThetaConstant (~7.74313198551214): Una constante de DST (normalmente denotada como theta) que aparece en las fórmulas de valor esperado para los fenómenos de “vacante gemela” en árboles digitales.
​
​QuadtreeConstant: En el análisis clásico de “ocupación” aleatoria de quadtree, una constante estándar es gamma1 = 40 - 4*Pi^2 (~0.52158239564257), y otra es y1 = 3*gamma1 = 120 - 12*Pi^2 (~1.56474718692770).
​
QuadtreeLeafProportionConstant (~0.47841760435743): Proporción de hojas en un modelo aleatorio de quadtree; equivale a 4*Pi^2 - 39.

La constante de 2/9

En un xilófono de juguete, se perforan orificios a 2/9 de cada extremo. De manera más precisa, estos son los puntos nodales .224.
La sal fina sobre una barra vibrante se acumula aproximadamente a 2/9 de los extremos. En un xilófono, glockenspiel, vibráfono o una viga libre-libre, los soportes se colocan en los puntos de 2/9, o en los puntos nodales de 0.224L.
Con los senos y cosenos regulares e hiperbólicos, podemos encontrar una expansión decimal precisa de la distancia desde el extremo hasta el nodo para el primer modo vibracional de flexión de una viga libre-libre de longitud unitaria. O el punto que corresponde a 2/9 partes.
Pero la precisión adicional no importará cuando perfore un agujero en una barra de metal.

Constantes de ternas pitagóricas

Lehmer (1900) mostró que la fracción de ternas primitivas N(p) con perímetro menor que p es

Constantes de desigualdad y de razón geométrica

SteinerRatioOfTheEuclideanPlane: La proporción en el peor caso (considerando todos los conjuntos finitos de puntos en el plano) entre la longitud del árbol recubridor mínimo euclidiano y la longitud del árbol de Steiner mínimo.

Desafío de los cien dólares

El Desafío de cien dólares y cien dígitos fue organizado por Siam en 2002 para resolver diez problemas difíciles con una precisión de diez cifras decimales.
Veinte equipos diferentes resolvieron el problema.
Un artículo sobre estos es Diez problemas sobre matemáticas experimentales, de David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Vishaal Kapoor y Eric W. Weisstein.

Elección de constantes

Constantes trigonométricas

BuffonConstant (~0.63661977236758134308): Constante de la aguja de Buffon 2/π (el coeficiente en la probabilidad clásica de cruce de la aguja cuando la longitud de la aguja ≤ el espaciado entre líneas).
​
Degree (~0.01745329251994329577): Un grado en radianes (π/180).
​
​DottieNumber (~0.73908513321516064166): El punto fijo real de cos(x)=x.
​
MagicAngle (~0.95531661812450927816): El ángulo arccos(1/Sqrt[3]) (≈54.7356°), desde un borde de un cubo hasta una diagonal principal.
​
TetrahedralBondAngle (~1.91063323624901855633): El ángulo tetraédrico arccos(-1/3) (≈109.471°)

Constante de Conway

1,
uno 1,
dos 1,
un 2 un 1
ConwayConstant (~1.30357726903429639126): el factor de crecimiento límite de la secuencia look-and-say.

Unidades SI estandarizadas (16 de noviembre de 2018) -- Constantes físicas

Desde 2019, el Sistema Internacional de Unidades (SI) define sus siete magnitudes base utilizando valores fijos de constantes físicas fundamentales.
Estas constantes forman el núcleo de nuestra metrología moderna.
Magnitudes base y constantes correspondientes:
En su blog sobre las unidades SI, Michael Trott analiza estas constantes en detalle.
Estas constantes son exactas por definición. El SI ya no depende de artefactos físicos.
Por supuesto, también hay muchas constantes físicas.
El hecho de que las unidades base del SI ahora estén definidas como números racionales exactos es quizás poco apreciado.
Aquí hay una de nuestras páginas que trata sobre constantes físicas.

Sin resolver

EulerGamma (constante de Euler–Mascheroni [Gamma]): ¿Es [Gamma] racional, algebraica o trascendental?
CatalanG (constante de Catalan G): ¿Es G irracional (o trascendental)?
Zeta[3] (constante de Apéry): ¿Es Zeta[3] trascendental?
Zeta[5]: ¿Es Zeta[5] irracional?
Valores impares de zeta: ¿Son Zeta[3], Zeta[5], Zeta[7] linealmente independientes sobre los racionales?
E y Pi: ¿Son E y Pi algebraicamente independientes?
E + Pi: ¿Es E + Pi irracional (o trascendental)?
E Pi: ¿Es E Pi irracional (o trascendental)?
2^Pi: ¿Es 2^Pi trascendental?
Pi^E: ¿Es Pi^E trascendental?
E^E: ¿Es E^E trascendental?
Constante de Khinchin K0: ¿Es K0 algebraica o trascendental?
FeigenbaumDelta ([Delta]): ¿Es delta de Feigenbaum [Delta] algebraica o trascendental?
Constante Omega ([CapitalOmega], solución de [CapitalOmega] Exp[[CapitalOmega]] == 1): ¿Es [CapitalOmega] algebraica o trascendental?
Constante de Lehmer / problema de Lehmer: ¿El ínfimo de las medidas de Mahler de enteros algebraicos no ciclotómicos es igual a 1, o es estrictamente mayor que 1?
¿Cuál es el valor exacto de la constante de Bloch?
¿Cuál es el valor exacto de la constante de Landau?
¿Cuál es el valor exacto de la constante de Grothendieck real K_G^R?
¿Cuál es el valor exacto de la constante de Grothendieck compleja K_G^C?
¿Cuál es el valor exacto de la constante de Grothendieck real de orden 3 K_G^R(3)?
Problema del gusano de Moser: 0.232239 -- 0.270911861
¿Cuál es la densidad de empaquetamiento de esferas en 5D? 0.4653 -- 0.51264513

CITE ESTE CUADERNO

Juegos matemáticos: Constantes matemáticas​
por Ed Pegg​
Comunidad Wolfram, STAFF PICKS, 18 de diciembre de 2025
​https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/3593941