Jeux mathématiques : les fractales partie 2. Applications, ensembles complexes et règles de substitution

par Ed Pegg
Découvrez la première partie ici : https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/3578446
Article original
Cette série de présentations en direct intitulée « Jeux mathématiques » explore une variété de jeux et d’énigmes à l’aide de Wolfram Language. Dans cet épisode, nous explorons les fractales.

Systèmes 3D déterministes sans contexte (DOL) (par Aristid Lindenmayer, John Cicilio et Premyslaw Prusinkiewicz)

In[]:=
Text@EntityValue[Entity["WolframDemonstration","3DDeterministicContextFreeDOLSystems"],"Caption"]
Out[]=
This Demonstration contains examples of a deterministic context-free system (DOL), a simple Lindenmayer system. Here we show some simple recursive string mappings using bracketed DOL systems. The examples used here were inspired by [1].
Cette démonstration contient des exemples d’un système déterministe non contextuel (DOL), un système de Lindenmayer simple. Ici, nous montrons quelques applications récursives simples de chaînes en utilisant des systèmes DOL entre crochets. Les exemples utilisés ici ont été inspirés par [1].
​
iterations
1
2
3
4
5
angle
20
22.5
25.7
60
90
replacement rule
{f,{ff[+f]f[-f[<f]][>f][f]}}

Arbres k-aires réguliers (par Stephen Wolfram)

In[]:=
Text@EntityValue[Entity["WolframDemonstration","RegularKAryTrees"],"Caption"]
Out[]=
In a regular k-ary tree, there are k branches from every nonterminal node. See various ways to draw k-ary trees in two dimensions.
Dans un arbre k-aire régulier, il y a k branches à partir de chaque nœud non terminal. Voyez diverses manières de dessiner des arbres k-aires en deux dimensions.
​
number of levels
1
2
3
4
5
6
7
8
branches at each node
2
3
4
5
6
root position
center
top
left
size reduction per level
1

Limites de la ramification des arbres (par Stephen Wolfram)

In[]:=
Text@EntityValue[Entity["WolframDemonstration","LimitsOfTreeBranching"],"Caption"]
Out[]=
A single stem branches in two, then each branch in turn branches in two, and so on. At each step, the tips of the new branches have the same geometrical relationship to the previous branch as the first branches had to the original stem. Each dot represents the tips of branches. Vary the position of the first branch, and see the radically different limiting shapes produced.
Une tige unique se divise en deux, puis chaque branche se divise à son tour en deux, et ainsi de suite. À chaque étape, les extrémités des nouvelles branches conservent la même relation géométrique avec la branche précédente que les premières branches avec la tige initiale. Chaque point représente les extrémités des branches. Faites varier la position de la première branche et observez les formes limites radicalement différentes qui en résultent.
​
position of first branch
number of branchings
show branches

Tapis de Sierpiński (par Peter House)

In[]:=
Text@EntityValue[Entity["WolframDemonstration","SierpinskiCarpet"],"Caption"]
Out[]=
This Demonstration steps through a few iterations of the Sierpinski carpet, a fractal created in 1916.
Cette démonstration parcourt quelques itérations du tapis de Sierpiński, une fractale créée en 1916.

Tamis de Sierpiński (par Peter House)

In[]:=
Text@EntityValue[Entity["WolframDemonstration","SierpinskiSieve"],"Caption"]
Out[]=
This Demonstration steps through a few iterations of the Sierpinski sieve (or gasket), which was described by Waclaw Sierpinski in 1915 but appeared earlier in Italian art.
Cette démonstration parcourt quelques itérations du tamis de Sierpiński (ou du triangle), qui a été décrit par Waclaw Sierpiński en 1915 mais était apparu plus tôt dans l’art italien.

Composition typographique du tamis de Sierpiński (par Robert Dickau)

In[]:=
Text@EntityValue[Entity["WolframDemonstration","TypesetSierpinskiSieve"],"Caption"]
Out[]=
This Demonstration uses Mathematica's typesetting functionality to create a Sierpinski sieve (or gasket) by nesting the Subsuperscript function.
Cette démonstration utilise Mathematica et sa fonctionnalité de composition typographique pour créer un tamis de Sierpiński (ou triangle de Sierpiński) en imbriquant la fonction Subsuperscript.

Courbes de Koch (par Michael Sollami)

In[]:=
Text@EntityValue[Entity["WolframDemonstration","KochCurves"],"Caption"]
Out[]=
Helga Von Koch's snowflake curve is the limit curve of an infinite sequence of polygonal curves. The Koch snowflake is an example of a fractal curve with finite area and infinite length. Change the angle of the updating rule to make interesting patterns. Typically the starting curve is a triangle or line, but any polygon will work.
La courbe en flocon de neige de Helga Von Koch est la courbe limite d’une suite infinie de courbes polygonales. Le flocon de neige de Koch est un exemple de courbe fractale ayant une aire finie et une longueur infinie. Modifiez l’angle de la règle de mise à jour pour créer des motifs intéressants. En général, la courbe de départ est un triangle ou une ligne, mais n’importe quel polygone fonctionne.

Polyèdres de Koch subdivisés (par Robert Dickau et Stewart Dickson)

In[]:=
Text@EntityValue[Entity["WolframDemonstration","KochSubdividedPolyhedra"],"Caption"]
Out[]=
This Demonstration shows a "graftal" technique to subdivide the triangular faces of a polyhedron. Many fractal curves can be generated using L-systems or string-rewrite rules, in which successive stages of the curve are generated by replacing each line segment with multiple smaller segments in a particular arrangement. The same technique can be extended to surfaces, where a stage is constructed by replacing each triangle with multiple smaller triangles. Here we apply this technique to two of the regular polyhedra with triangular faces.
Cette démonstration présente une technique « graftale » pour subdiviser les faces triangulaires d’un polyèdre.
De nombreuses courbes fractales peuvent être générées à l’aide de L‑systèmes ou de règles de réécriture de chaînes, dans lesquelles des étapes successives de la courbe sont produites en remplaçant chaque segment de ligne par plusieurs segments plus petits dans une disposition particulière.
La même technique peut être étendue aux surfaces, où une étape est construite en remplaçant chaque triangle par plusieurs triangles plus petits. Ici, nous appliquons cette technique à deux des polyèdres réguliers possédant des faces triangulaires.

Courbes fractales de Koch carrées (par Robert Dickau)

La courbe fractale de Koch classique est créée de manière récursive en partant d’un segment de droite puis en ajoutant de manière récursive une inflexion triangulaire au centre de chaque segment. Des variantes peuvent être créées en utilisant une forme carrée au lieu d’un triangle dans la règle de remplacement. La courbe de type 1 est une analogie directe de la courbe de Koch classique, remplaçant chaque segment de droite par cinq segments plus petits disposés à angle droit. La courbe quadratique de type 2, également connue sous le nom de courbe 3/2 et de la courbe de Koch à huit segments, utilise un motif similaire qui remplace chaque segment par huit segments plus petits.

Ensemble de Cantor (par Eric Rowland)

L’ensemble de Cantor est obtenu à partir de [0,1] en retirant le tiers médian ouvert et en retirant de manière itérative le tiers médian de chaque intervalle restant.

Fonction de Cantor (par Douglas Rivers)

Cette démonstration exécute huit itérations de la fonction de Cantor. Vous pouvez effectuer un zoom près de l’origine pour voir la nature fractale de la fonction.

L’exemple de Riemann d’une fonction continue mais nulle part différentiable (par Michael Trott)

La fonction de Dirichlet modifiée (par George Beck)

Cette fonction de Dirichlet modifiée porte de nombreux noms : Thomae, Riemann, pop-corn, goutte de pluie, règle. Elle est définie sur l’intervalle fermé [0,1] et vaut 1/q aux rationnels réduits p/q et 0 ailleurs. Elle possède la propriété curieuse d’être continue sur les irrationnels mais discontinue en chaque rationnel de (0,1).
En revanche, la fonction de Dirichlet (non représentée ici) est définie comme valant 1 sur les rationnels et 0 sur les irrationnels. Elle est discontinue partout et son graphe terne se compose de deux lignes floues.

Courbe de Takagi (par Borut Levart)

En partant d’un triangle, la courbe de Takagi (ou Blancmange) est la somme d’une série de fonctions en zigzag, chacune ayant la moitié de la hauteur de la précédente et deux fois plus de zigzags. À la limite, la fonction demeure continue, mais n’est différentiable nulle part. Déplacez le curseur pour augmenter l’ordre de la courbe et activez la case à cocher ci-dessous pour afficher la somme précédente et l’étape actuelle de la construction. La dérivée est représentée à droite.

La fonction de Bolzano, continue mais nulle part dérivable (par Izidor Hafner)

Bolzano a découvert cette fonction continue mais nulle part dérivable avant 1831, mais ces recherches n’ont été publiées qu’en 1930. Weierstrass a trouvé une fonction analogue en 1875. La fonction est la limite de celles représentées graphiquement lorsque n∞.

La fonction point d’interrogation de Minkowski (par Oleksandr Pavlyk)

La nature fractale des partitions (par George Beck)

Réécrivez la partition suivante de 21 sous forme d’un produit scalaire de fréquences et de parties : 1+1+1+2+4+4+8=3×1+1×2+2×4+1×8=(3,1,0,2,0,0,0,1,0,0,0,…,0)·(1,2,3,4,…,21). La somme des fréquences est 7.
Les partitions sont répertoriées dans l’ordre lexicographique inverse. Par exemple, les cinq partitions de 4 sont répertoriées comme 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1.
Pour chaque n, cette démonstration trace (du bas vers le haut) les moyennes, médianes et sommes des fréquences non nulles des parties des partitions de n.

Ensembles de Cantor généralisés et leurs dimensions de Hausdorff (par Erin K. Kline et Matthew A. Morena)

Qu’est-ce que la non-périodicité ? Pavage en moulins à vent

Isopente

Pavages de Penrose et toits de Wieringa

Traditionnellement, le pavage P3 de Penrose est composé de losanges minces et épais. Cependant, en élevant les sommets en trois dimensions, il est possible de forcer tous les losanges à être congruents. La surface ainsi obtenue est connue sous le nom de toit de Wieringa. En raison de similitudes avec les quasi-cristaux tridimensionnels, vous pouvez voir des triacontaèdres rhombiques et des hexecontaèdres cachés dans le pavage.

Rep-tuiles

Plus de reptuiles

Qu’est-ce que la non-périodicité ? Encore plus de reptuiles (d’ordre 5)

https://demonstrations.wolfram.com/RepTilesAndFractalsOfOrderFive/

Pavages apériodiques

Un ensemble de pavage est apériodique si
1. un pavage non périodique est possible,
2. des régions ou des motifs périodiques arbitrairement grands sont impossibles.

Pavages apériodiques et pavages de Robinson

Pavage apériodique montrant une structure hiérarchique, publié par Raphael M. Robinson en 1971.

Joseph Samuel Myers : « c’est une famille infinie »

Règles de substitution : 1 jour plus tard

Grands patchs

https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/2858759

Grands patchs Y ou Anti-Y complets

Grands patchs Y ou anti-Y partiel

Yoshiaki Araki

Arbre de trialité du chapeau

https://resources.wolframcloud.com/FunctionRepository/resources/HatTrialityTree/
Représentation d’une portion plus large du motif de trialité des arbres mutuels :

Réduire, répliquer, reconstruire (par Stephen Face)

À chaque itération, l’image est réduite de moitié. L’image est ensuite répliquée dans chacun des trois coins indiqués par les contrôles. Chaque copie est ensuite transformée par rotation ou retournement, comme spécifié par les contrôles. L’image obtenue est ensuite reconstruite à partir des trois copies plus petites. Après plusieurs itérations, une image fractale est produite.

Exercices récursifs II : un paradoxe (par Jaime Rangel-Mondragon)

Cette démonstration produit une série de formes fondées sur l’imbrication récursive de cercles. À mesure que le processus est répété, considérez ce qui arrive aux cercles qui sont blancs à l’intérieur et dont les centres se trouvent sur le plus grand diamètre horizontal. Rassemblez tous ces cercles en familles partageant le même rayon. Il y a 1, 2, 4, 8, … cercles dans chacune de ces familles. La somme des circonférences des cercles dans chaque famille est toujours le même nombre c. En supposant que le plus grand cercle ait un diamètre égal à 1, c’est‑à‑dire c=π. Alors, lorsque vous augmentez le niveau, les cercles blancs convergent vers le plus grand diamètre horizontal et la conclusion est que π=1 !

Exercices récursifs III : motifs de feu (par Jaime Rangel-Mondragon)

Cette démonstration présente une disposition fondée sur la subdivision récursive d’un triangle afin de produire des motifs ressemblant à des figures évoquant le feu. Le code illustre l’utilisation de nombres complexes dans le traitement de figures géométriques.

Exercices récursifs IV : Rep-tuiles (par Jaime Rangel-Mondragon)

Si un polyomino peut être divisé en n copies congruentes semblables à lui-même, on l’appelle un n-reptuile. Les rep-tuiles sont des pièces auto-similaires et peuvent donc être considérés comme des fractales. Cette démonstration montre trois polyominos qui sont des 4-reptuiles : le pentomino P, le triomino L et le sphinx qui est un polyiamant.
En diminuant l’opacité, une forme 3D située derrière apparaît ; en la faisant pivoter, vous découvrez des conceptions architecturales basées sur ces formes.

Exercices récursifs VII : empilements de cubes (par Jaime Rangel-Mondragon)

Cette démonstration montre l’empilement récursif de cubes formant une structure pyramidale rappelant le tamis de Sierpiński.

Exercices récursifs XI : hommage à Escher (par Jaime Rangel-Mondragon)

Cette démonstration présente deux exemples inspirés de l’estampe Square Limit d’Escher. Tous deux font pivoter le motif principal pour l’étendre jusqu’à remplir un carré. Le premier exemple converge vers un carré dont la taille est définie au niveau 0, tandis que le second croît progressivement pour l’atteindre.

LSystemPlot (par Robert Dickau)

Arrangements de Schmidt

Fractale en volutes

Ghee Beom Kim

Je peux tout aussi bien mentionner mon groupe Facebook, https://www.facebook.com/groups/tiling .
Rapport = 1,118 ce qui correspond à 1/ϕ + 0.5 où ϕ est le nombre d’or

MG19 Machines de Turing et Turmites

Jeux mathématiques 16 : remplissage de l’espace

Jeux mathématiques 4 : le chapeau et d’autres pavages

Questions non résolues

Des losanges de Penrose 2D dissemblables deviennent similaires dans un toit de Wieringa 3D. Quelles autres substitutions de pièces dissemblables possèdent un équivalent 3D ?
​
Quels systèmes de substitution n’ont pas encore été découverts ?
​
J’ai découvert de nombreuses nouvelles substitutions en résolvant le problème consistant à entourer un point 2D avec des triangles similaires. Qui peut résoudre le problème consistant à entourer un point 3D avec des formes similaires ?
Les pattes des geckos ont été élucidées il y a moins de 20 ans. Elles fonctionnent grâce à une application fractale des forces de Van der Waals. Quelles sont les autres applications ?

CITER CE NOTEBOOK

Jeux mathématiques : Fractales Partie 2. applications, ensembles complexes et règles de substitution​
par Ed Pegg​
Communauté Wolfram, CHOIX DE L’ÉQUIPE, 20 novembre 2025
​https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/3578703