Jeux mathématiques : les fractales, partie 1. Applications, ensembles complexes et règles de substitution

par Ed Pegg
Article original
Cet article fait partie d’une série de présentations en direct intitulée Jeux mathématiques, dans laquelle nous explorons une variété de jeux et d’énigmes en utilisant Wolfram Language. Dans cet épisode, nous explorons les fractales.
Épisode YouTube : https://www.youtube.com/live/hPEs0ardvo4

demonstrations.wolfram.com

De nombreuses démonstrations impliquent des fractales

Fractales dans Gardner

Certaines fractales abordées par Martin Gardner incluent :
Les pavages de Penrose
Les nombres surréels de Conway
Les fractales de Mandelbrot
La musique fractale
Le code Gray binaire
La courbe du dragon
Les rep-tuiles

Benoît Mandelbrot (20 novembre 1924 – 14 octobre 2010)

J’ai correspondu pour la première fois avec Benoît en 1990, lorsque je lui ai demandé la permission d’utiliser l’ensemble de Mandelbrot. Il a répondu : « Vous êtes le premier à demander. Vous n’avez pas besoin de ma permission, c’est un objet mathématique. Cela dit, vous avez ma permission. »
Plus tard, via periodictable.com, il nous a contactés pour emprunter l’un de nos échantillons d’uranium, alors nous lui en avons envoyé un. Nous avons ensuite appris qu’il avait prononcé un discours aux Nations Unies sur la sécurité nucléaire. Une partie de son discours disait : « Je suis venu ici en métro ». Puis il a posé un gros morceau d’uranium appauvri sur le pupitre, dans le bâtiment des Nations Unies, et a donné son discours. Après cela, il nous l’a renvoyé.

Nombres binaires

Le simple fait de regarder des nombres binaires mène à une fractale.
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ArrayPlot[Transpose[Table[IntegerDigits[n,2,6],{n,1,2^6-1}]]]
Out[]=
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ArrayPlot[Transpose[Table[IntegerDigits[n,2,8],{n,1,2^8-1}]]]
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ArrayPlot[Transpose[Table[IntegerDigits[n,3,4],{n,1,3^4-1}]]]
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Inutile de dire qu’il y a des fractales partout.

Quelle est la longueur de la côte de la Grande-Bretagne ? (par Jaime Rangel-Mondragon)

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Text@EntityValue[Entity["WolframDemonstration","HowLongIsTheCoastOfBritain"],"Caption"]
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This Demonstration examines the coastline paradox, studied by Benoit Mandelbrot (1924–2010) in his influential 1967 short paper "How Long Is the Coast of Britain?" [3]. The smaller the length of the measuring stick, the longer the length of the coast appears, so that in the limit the coast of the island of Great Britain is of infinite length! Starting from an empirical law obtained previously by Richardson, Mandelbrot introduced the idea of "fractals", concluding that it is meaningless to talk about the length of a coastline and proposing a generalization of the concept of fractal dimension to measure the degree of roughness involved in such measurements.
Cette démonstration examine le paradoxe du littoral, étudié par Benoît Mandelbrot (1924–2010) dans son article court et influent de 1967 : « Quelle est la longueur de la côte de la Grande-Bretagne ? » [3]. Plus la longueur de la règle de mesure est petite, plus la longueur du littoral apparaît grande, de sorte qu’à la limite le littoral de l’île de Grande-Bretagne est d’une longueur infinie  ! En partant d’une loi empirique obtenue auparavant par Richardson, Mandelbrot a introduit l’idée de « fractales », concluant qu’il est dénué de sens de parler de la longueur d’un littoral et a proposé une généralisation du concept de dimension fractale pour mesurer le degré de rugosité impliqué dans de telles mesures.
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Plus tard, Benoît a essayé de déterminer la question suivante : « Quand l’ensemble de Julia est-il connexe ? »

Ensembles de Julia quadratiques (par Stephen Wolfram)

Génération des ensembles de Julia (par Alijah Travascio-Green)

Ensembles de Julia et l’ensemble de Mandelbrot (par Mark McClure)

Vues agrandies de l’ensemble de Mandelbrot (par S. M. Blinder)

Effet Droste (par Arnoud Buzing)

L’effet Droste est un type d’image récursive où une version plus petite de l’image complète apparaît dans l’image complète de manière naturelle. Dans cet exemple particulier, l’image complète est la face avant d’une boîte de cacao, qui apparaît aussi comme une partie de l’image sur le plateau de service que l’infirmière porte.

Labyrinthe fractal (par Ed Pegg Jr)

Explorateur de courbe de Peano (par Robert Dickau)

H-Fractal (par Sándor Kabai)

Une unité en forme de T est assemblée à partir de trois cylindres (représentant le tronc et deux branches d’un arbre). Deux unités de ce type sont placées sur un cylindre plus grand pour former une autre unité en forme de T. Cette procédure est répétée. Vous pouvez incliner ou tordre les branches pour voir la fractale en H et diverses structures sous forme d’arbre.

Fractale triangulaire (par Sándor Kabai)

Dans une structure fractale, des triangles équilatéraux dont la taille varie constamment sont attachés ensemble par leurs sommets. Vous pouvez créer le contour de la courbe du flocon de neige de Koch parmi d’autres motifs.

Graphiques de tortue (par Michael Trott)

Voici la construction d’une courbe remplissant un carré, elle basée sur le graphique de tortue. On peut donner à une tortue robot des instructions pour avancer ou pour tourner à gauche ou à droite. Le trajet suivi par une tortue programmée, appelé graphique de tortue, peut mener à de nombreuses images intéressantes. Ici, une tortue reçoit des instructions qui finissent par lui faire parcourir une portion toujours plus grande d’un carré.

AnglePath (par Ed Pegg Jr)

Dans le « graphique de tortue », une tortue robotique porte un stylo et reçoit des instructions pour soit avancer, soit tourner. La fonction AnglePath de Mathematica fait la même chose. Cette démonstration montre comment cette fonction peut reproduire diverses courbes.

Gonfler un dragon (par Borut Levart et Sander Huisman)

En partant d’un carré, nous découpons à plusieurs reprises les polygones en morceaux et les faisons glisser séparément. La fractale du dragon émerge.

n-Flocons (par Eric W Weisstein et Michael Croucher)

Des motifs attrayants rappelant des flocons de neige peuvent être créés en disposant de manière itérative un nombre n de n-gones autour d’un n-gone initial. Un exemple célèbre d’une telle construction est le penta-flocon, qui a été remarqué pour la première fois par Albrecht Dürer. Cette démonstration vous permet d’expérimenter avec plusieurs types différents de n-flocons. Le curseur du « facteur d’échelle » n’affecte que les n-flocons du type de « variation 2 » et contrôle la taille relative des n-gones secondaires.

Triangle rectangle fractal (par Ed Pegg Jr)

Tout triangle rectangle peut être divisé en deux triangles semblables en traçant la hauteur vers l’hypoténuse. Cette démonstration divise de manière itérative le plus grand triangle.

Pavages par substitution (par Ed Pegg Jr)

Le pavage en moulin à vent divise un triangle 1‑2 en cinq triangles rectangles similaires, un exemple de pavage par substitution. Cette démonstration présente une variété de pavages par substitution différents. Réglez le « nombre d’étapes » à 0 pour voir le système sous‑jacent.

Pentagone en plastique de Vesa Timonen

La configuration de ceux-ci n’est pas triviale. Je dois améliorer mon code. Une même couleur devrait donner la même taille.
Ça devrait ressembler davantage à ceci :
Voici quelque chose de similaire fait par Karl Scherer :
Chaise d’Ammann, utilisant le nombre d’or :

Diverses substitutions fractales

Le programme IFSTile fournit des centaines d’autres irreptuiles fractales d’ordre 3. En voici quelques-uns :

Irreptuiles non fractales d’ordre 3

Voici tous les irreptuiles d’ordre 3 non fractales que je connais :
1. Triangles rectangles (infinité) et drafter3.
2. Quatre rectangles, qui peuvent être déformés en parallélogrammes.
3. Un ensemble infini de quadrilatères avec deux angles droits et le tritan2.
4. Le pentagone irrégulier de Vesa Timonen.
5. Des chaises de Mineyuki Uyematsu, Jun-ichi Miyoshi, Robert Ammann (et Karl Scherer) et Dale Walton.
La plupart des fractales appliquent une étape à répétition.
Une fractale autosimilaire existe pour ρ. Les nombres sur les lignes vertes indiquent une puissance particulière d’une racine complexe de ρ.
Le triangle fractal plastique démontre une série infinie. Augmentez les itérations pour améliorer la fractale.

Nautile avec un triangle fractal avec le super nombre d’or

PsiQuad est une fractale auto-définissante :
Nous pouvons créer une fractale en utilisant le jeu du chaos, qui choisit aléatoirement un point suivant parmi deux options. L’itération produit deux triangles fractals similaires.
Nous pouvons à la place générer le bord ondulé à toute profondeur fractale souhaitée.
Les deux triangles ensemble construisent un troisième triangle similaire, ce qui en fait une dissection auto-similaire, irreptuile, ou fractale de Rauzy.
Avec les quadrilatères.
Avec la forme, nous obtenons un nautile fractal  :
Une série de ceux-ci se couvre elle-même.

Rep-tuiles (par Erich Friedman, George Freeman et Karl Scherer)

Une forme bidimensionnelle qui peut se paver elle-même avec n copies plus petites et de même taille s’appelle « rep-tuile » et l’on dit qu’elle est rep-n.
L’ordre d’une rep-tuile est le plus petit nombre n tel que la tuile est rep-n.
Tout poly-carré qui pave un carré est évidemment une rep-tuile. Ces cas triviaux sont omis ici.

Irreptuiles (par  Karl Scherer, Michael Reid, Rodolfo Kurchan, Ernesto Amezcua, George Freeman et George Sicherman)

Une forme qui peut se paver elle-même avec des carreaux plus petits de même taille est appelée une rep-tuile.
Une forme qui peut se paver elle-même en utilisant des carreaux de tailles différentes est appelée une rep-tuile irrégulière ou irreptuile.
Cette démonstration présente 73 irreptuiles (et leurs pavages) comportant moins de 20 pièces dans le pavage.
De plus, des schémas récapitulatifs sont fournis (74 à 80), répertoriant également certaines formes d’ordre irrégulier supérieur ; ces pavages ne sont pas fournis ici.

Paramétrisation d’une courbe fractale (par Cédric Voisin)

La paramétrisation présentée de certaines courbes fractales bien connues est intéressante, car les valeurs des paramètres reflètent la hiérarchie des courbes.

Fractale de l’octaèdre (par Ferenc Holló Szabó et Sándor Kabai)

Six octaèdres sont placés aux sommets d’un octaèdre plus grand. Les cavités à l’intérieur du grand octaèdre sont remplies de tétraèdres afin de former un octaèdre solide composite, qui est ensuite placé aux sommets d’un autre octaèdre, et les cavités sont à nouveau remplies de tétraèdres. Ce processus constitue deux étapes d’une structure fractale. Séparez les parties à l’étape 1 ou à l’étape 2 pour voir comment le fractal s’assemble.

Tétraèdre fractal (par Sándor Kabai)

Un tétraèdre est divisé en quatre tétraèdres et un octaèdre. Puis chaque tétraèdre est à nouveau divisé de la même manière. Ce processus pourrait être poursuivi pour former une structure fractale. Une face du tétraèdre divisé deviendrait un tamis de Sierpiński et les parties tétraédriques en 3D formeraient un tetrix (ou éponge de Sierpiński).

Tétraèdre fractal dans un octaèdre (par Sándor Kabai)

Une infinité de tétraèdres disposés en une structure fractale remplissent un octaèdre.

Tranches d’éponge de Menger (par Robert Dickau)

Commencez par un cube. Tracez neuf carrés sur chaque face du cube, formant un motif 3×3. Percez les carrés centraux à travers le cube. Prenez les huit carrés restants sur chaque face et tracez pour chacun d’eux le motif 3×3. Percez de nouveau en ligne droite. Continuez ainsi ; la fractale de l’éponge de Menger est la limite de ce processus.
Cette démonstration découpe l’éponge de Menger à l’aide d’un plan perpendiculaire à une diagonale principale à certaines distances.

Sphères dans un tétraèdre de Sierpinski (par Sándor Kabai)

Des sphères sont placées le long des arêtes et dans les vides d’un tétraèdre de Sierpiński. Les sphères intérieures forment une structure fractale.

Cercles d’Apollonius (par Michael Schreiber)

À chaque étape, inscrivez de nouveaux disques tangents dans chaque triangle curviligne ouvert. Ces régions ouvertes se remplissent rapidement, laissant une fractale d’une infinité de points qui ne se trouvent jamais dans aucun cercle.

Cercles de Ford à rayons variables (par Ethan Zack et Jonathan Kogan)

À quoi ressemblent les pavages de pentachores ?

J’ai toujours eu l’intention de le découvrir. Une première étape consiste à s’assurer que le tétraèdre extérieur et les petits tétraèdres ont la même orientation.
Nous pouvons maintenant utiliser une représentation par coordonnées barycentriques :
À partir de cela, nous obtenons le pavage de pentachores :
L’autre pentachore est similaire :

Système de substitution défini en divisant chaque cellule en neuf (par Daniel de Souza Carvalho)

Des motifs imbriqués intéressants peuvent être trouvés avec un système de substitution qui divise chaque cellule en neuf cellules à chaque étape. Il existe 512 façons possibles de diviser les cellules blanches et noires, pour un total de 262144 possibilités. La condition initiale peut être une cellule blanche ou noire, ce qui double les possibilités.
Ce processus produit une sorte de fractale, car les résultats montrent une auto-similarité. Le tapis de Haferman est l’un des motifs possibles.

Systèmes de réécriture de chaînes cartésiens binaires nommés en 2D (par Michael Schreiber)

Les systèmes de substitution 2D peuvent utiliser différentes matrices de taille 3 pour remplacer des zéros et des uns. Certains de ces 262144 systèmes de réécriture de chaînes portent des noms propres.

Évolution des systèmes de substitution en rotation en 3D (par Enrique Zeleny)

Expérimentez avec des systèmes de substitution en rotation. Les jeux de contrôles spécifient les caractéristiques de deux nouveaux carrés ou cubes par rapport à un ancien : des déplacements x-y, des rapports de taille r et des angles de rotation θ. Vous pouvez voir quelques étapes de l’évolution et comment des structures commencent à se former.

CITER CE NOTEBOOK

Jeux mathématiques : fractales, partie 1. Applications, ensembles complexes et règles de substitution​
par Ed Pegg​
Communauté Wolfram, CHOIX DE L’ÉQUIPE, 20 novembre 2025
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