數學遊戲：分形第二部分— 應用、複數集合與替換規則

作者：Ed Pegg
第一部分文章鏈接：https://www.wolframcloud.com/obj/international-essays/Published/MathematicalGamesFractals_Part1_zh-tw.nb
這是名為「數學遊戲」的現場演講系列的一部分，我們將使用 Wolfram 語言來探索各種遊戲與謎題。在本集内容中，我們將探討分形結構。
YouTube 頻道鏈接：https://www.youtube.com/watch?v=hPEs0ardvo4

三維確定性上下文無關（DOL）系統 （作者：Aristid Lindenmayer、John Cicilio、Premyslaw Prusinkiewicz）

In[]:=
Text@EntityValue[Entity["WolframDemonstration","3DDeterministicContextFreeDOLSystems"],"Caption"]
Out[]=
This Demonstration contains examples of a deterministic context-free system (DOL), a simple Lindenmayer system. Here we show some simple recursive string mappings using bracketed DOL systems. The examples used here were inspired by [1].
​
iterations
1
2
3
4
5
angle
20
22.5
25.7
60
90
replacement rule
{f,{ff[+f]f[-f[<f]][>f][f]}}
​
迭代次數
1
2
3
4
5
角度
20
22.5
25.7
60
90
替換規則
{f,{ff[+f]f[-f[<f]][>f][f]}}

正則 k 位元樹 （作者：Stephen Wolfram）

In[]:=
Text@EntityValue[Entity["WolframDemonstration","RegularKAryTrees"],"Caption"]
Out[]=
In a regular k-ary tree, there are k branches from every nonterminal node. See various ways to draw k-ary trees in two dimensions.
​
number of levels
1
2
3
4
5
6
7
8
branches at each node
2
3
4
5
6
root position
center
top
left
size reduction per level
1
​
層數
1
2
3
4
5
6
7
8
每個節點的分支數
2
3
4
5
6
根節點位置
置中
頂部
左側
每層的尺寸縮減比例
1

樹分枝的極限 （作者：Stephen Wolfram）

In[]:=
Text@EntityValue[Entity["WolframDemonstration","LimitsOfTreeBranching"],"Caption"]
Out[]=
A single stem branches in two, then each branch in turn branches in two, and so on. At each step, the tips of the new branches have the same geometrical relationship to the previous branch as the first branches had to the original stem. Each dot represents the tips of branches. Vary the position of the first branch, and see the radically different limiting shapes produced.
​
position of first branch
number of branchings
show branches

謝爾賓斯基地毯 （作者：Peter House）

謝爾賓斯基篩（作者：Peter House）

排版謝爾賓斯基篩 （作者：Robert Dickau）

Koch 曲線（作者：Michael Sollami）

Koch-細分多面體（作者：Robert Dickau, Stewart Dickson）

方形 Koch 分形曲線 （作者：Robert Dickau）

康托爾集 (作者：Eric Rowland)

康托爾函數 （作者：Douglas Rivers）

黎曼的連續但處處不可微的函數範例 （作者：Michael Trott）

修正的狄利克雷函數 （作者：George Beck）

Takagi 曲線 （作者：Borut Levart）

波札諾的連續但處處不可微函數（作者：Izidor Hafner）

明可夫斯基問號函數（作者：Oleksandr Pavlyk）

分割的分形性質 （作者：George Beck）

廣義康托集及其豪斯多夫維度 （作者：Erin K. Kline, Matthew A. Morena）

什麼是非週期性？風車貼磚

Isopenta

彭羅斯密鋪與 Wieringa 屋頂

傳統上，P3 彭羅斯密鋪是由瘦菱形和厚菱形組成。然而，通過將頂點提升到三維空間，可以使所有菱形都全等。這樣生成的曲面被稱為 Wieringa 屋頂。由於與三維準晶體的相似性，你可以在鋪砌中看到隱藏的三十面菱形體和六十面菱形體。

重覆密鋪

更多可複製密鋪

什麼是非週期性？更多可複製密鋪（5 階）

https://demonstrations.wolfram.com/RepTilesAndFractalsOfOrderFive/

非週期性平鋪

當一組密鋪集具有下列性質時，稱為非週期性：
1. 可以產生非週期性密鋪。
2. 不可能出現任意大範圍的週期性區域或塊。

非週期性平鋪—Robinson 平鋪

非週期平鋪展示層次結構，由 Raphael M. Robinson 於 1971 年發表。

Joseph Samuel Myers —「這是一個無窮的家族」

替換規則—1 天後

大型區塊

https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/2858759

大區塊 Y 或反 Y 完整

大區塊 Y 或反 Y 局部

荒木良明

Hat 三元樹

https://resources.wolframcloud.com/FunctionRepository/resources/HatTrialityTree/
描繪更大範圍的相互關聯樹三元性圖樣：

精簡、複製、重建（作者：Stephen Face）

遞迴練習 II：一個悖論 （作者：Jaime Rangel-Mondragon）

遞迴練習 III：火焰圖案 （作者：Jaime Rangel-Mondragon）

遞迴練習 IV：重複圖塊 （作者：Jaime Rangel-Mondragon）

遞迴練習 VII：立方體堆疊 （作者：Jaime Rangel-Mondragon）

遞迴練習 XI：向埃舍爾致敬 （作者：Jaime Rangel-Mondragon）

LSystemPlot（作者：Robert Dickau）

SchmidtArrangements

捲曲分形

金義範

我也順便提一下我的 Facebook 群組，https://www.facebook.com/groups/tiling 。
比值 = 1.118，等於 1/ϕ + 0.5，其中 ϕ 是黃金比例

MG19 圖靈機與 Turmites

數學遊戲 16：空間填充

數學遊戲 4：帽子與其他密鋪

未解決問題

不同的二維彭羅斯菱形在三維 Wieringa 屋頂中變為相似。還有那些由不同圖形組成的替換系統有三維的對應形式？
​
還有那些替換系統尚未被發現？
​
我透過解決如何用相似三角形包圍一個二維點的問題，發現了許多新的替換系統。那麼，誰能解決如何用相似形狀包圍一個三維點的問題呢？
壁虎的腳掌結構是在不到 20 年前才被解釋。其原理是通過凡得瓦力的分形應用來實現。還有其他類似的應用嗎？

引用此筆記本

數學遊戲：分形 第二部分—應用、複數集合與替換規則
作者：Ed Pegg​
Wolfram Community，精選 STAFF PICKS，2025 年 11 月 20 日
https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/3578703