Mathematical Games: Grupos de simetria e preenchimento do espaço

Esta é uma parte da série de apresentações ao vivo chamada Mathematical Games, na qual exploramos uma variedade de jogos e desafios utilizando a Wolfram Language. Neste episódio, exploramos jogos que envolvem grupos de simetria e o preenchimento do espaço.

Assista no YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=YQRHsnd9yCA

demonstrations.wolfram.com

Muitas Demonstrations tratam de cristais, tesselações e grupos de simetria.

Acabamos de relançá-las com melhorias em alguns recursos.

230 grupos de simetria espacial

Há um pôster gratuito dos grupos de simetria muito interessante disponível. O MaXrd é um bom pacote de programas para trabalhar com grupos de simetria.

Terrence Tao e SMBC

Há alguns dias, Terence Tao se juntou ao SMBC para uma exploração em 5 partes sobre como a matemática é percebida, seguida de uma discussão mais aprofundada sobre empacotamento de esferas. É sempre interessante quando se escolhe um tema para uma apresentação… e um dos matemáticos mais renomados do mundo está investigando exatamente o mesmo assunto. A série em 5 partes em formato de quadrinhos vale muito a leitura.

Redes (lattices) podem ser um tanto complexas

Por exemplo, uma rede de 4×4×4.

In[]:=

cube=Tuples[{-3,-1,1,3},{3}]

Out[]=

{{-3,-3,-3},{-3,-3,-1},{-3,-3,1},{-3,-3,3},{-3,-1,-3},{-3,-1,-1},{-3,-1,1},{-3,-1,3},{-3,1,-3},{-3,1,-1},{-3,1,1},{-3,1,3},{-3,3,-3},{-3,3,-1},{-3,3,1},{-3,3,3},{-1,-3,-3},{-1,-3,-1},{-1,-3,1},{-1,-3,3},{-1,-1,-3},{-1,-1,-1},{-1,-1,1},{-1,-1,3},{-1,1,-3},{-1,1,-1},{-1,1,1},{-1,1,3},{-1,3,-3},{-1,3,-1},{-1,3,1},{-1,3,3},{1,-3,-3},{1,-3,-1},{1,-3,1},{1,-3,3},{1,-1,-3},{1,-1,-1},{1,-1,1},{1,-1,3},{1,1,-3},{1,1,-1},{1,1,1},{1,1,3},{1,3,-3},{1,3,-1},{1,3,1},{1,3,3},{3,-3,-3},{3,-3,-1},{3,-3,1},{3,-3,3},{3,-1,-3},{3,-1,-1},{3,-1,1},{3,-1,3},{3,1,-3},{3,1,-1},{3,1,1},{3,1,3},{3,3,-3},{3,3,-1},{3,3,1},{3,3,3}}

In[]:=

Graphics3D[Point[cube]]

Out[]=

Serhiy Grabarchuk observou que cada um desses tinha seis pontos a uma distância de 6.
Isso agora é chamado de grafo de Grabarchuk.

Mas como isso se parece em 2D? Até uma semana atrás, não se conhecia nenhuma representação simétrica.
Então, notei que os vértices da “face” (em azul) formavam o Nauru graph.

E, com isso, encontrei uma representação de ordem 4. É sempre interessante quando se escolhe um tema para uma apresentação… e um dos matemáticos mais renomados do mundo, Donald Knuth, também está explorando o mesmo assunto.

Poliedros que preenchem o espaço

Anos atrás, eu sabia que existiam poliedros que preenchem o espaço, como os cubos.
O empacotamento de esferas de Kepler está relacionado tanto ao dodecaedro rômbico quanto ao octaedro truncado.

Há mais um paralelepípedo de Fedorov, o dodecaedro alongado. Aqui está um código que reescrevi muitas vezes.

O Engel-38 de Peter Engel em Geometric Crystallography

Há cerca de 30 anos, eu já sabia que existiam poliedros mais estranhos.
O recordista tinha 38 faces. Esta era a melhor imagem disponível:

Mais tarde, Branko Grünbaum e G. C. Shephard fizeram uma imagem um pouco melhor em Tilings with congruent tiles.
Ainda assim, não era suficiente para eu compreendê-lo.

Eu não fazia ideia de como criar uma imagem 3D disso.

Moritz W. Schmitt, On Space Groups and Dirichlet–Voronoi Stereohedra

Um novo artigo de Moritz W. Schmitt, On Space Groups and Dirichlet–Voronoi Stereohedra, parecia trazer grande parte da resposta na página 135.
Dentro do grupo espacial IT(214), o ponto gerador da rede (427/6984, 761/6984, 1421/6984), permite gerar o poliedro de 38 faces que preenche o espaço. O autor também disponibiliza o programa https://github.com/moritzschmitt/plesiohedron.

Não consegui executar o programa. Então, diante de um problema difícil, em 2017, pedi ajuda a outras pessoas para resolvê-lo.

Em 2022, Anders Kaseorg publicou uma resposta com os vértices.

Código para plesioedros

Então, eu queria um código para gerar todos os plesioedros descritos no artigo de Moritz W. Schmitt. Pensei que talvez pudesse “convencer” uma IA a escrever esse código para mim. E, como eu já tinha alguns resultados finais, poderia verificar a correção. Para começar, obtive dados de 3903 plesioedros a partir do artigo de Schmitt. (Acesse https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/3688732 . )

Consegui abrir essa forma compactada — imagine cerca de 50 páginas de código.
Como mencionei, MaXrd é um bom pacote de programas para grupos espaciais.

Quantas rotações existem em cada grupo espacial? Eu precisava saber isso mais adiante.

POR GARANTIA

Grande parte desses dados é volumosa. Caso eu precise reduzir este notebook, coloquei o código e os dados na Wolfram Community,
Spacefilling Polyhedra, https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/3688732 .

Voltando ao assunto

O resultado a seguir indica que encontrei 16 poliedros de 4 faces que preenchem o espaço e 1 poliedro de 38 faces que preenche o espaço:

Poliedro de Engel com 38 faces que preenche o espaço

O último é o Engel-38

É o mesmo sobre o qual fiz uma publicação. https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/2617634

Então, como é o Engel-38? Basta usar as simetrias do grupo espacial I4₁32, com o seguinte ponto gerador, e encontrar as células de Voronoi. É simples assim!

Para resolver isso, usei o método clássico: desistir e pedir ajuda: poliedro de 38 faces que preenche o espaço. Após cinco anos, Anders Kaseorg publicou uma resposta com coordenadas aproximadas. Acontece que o método de Moritz Schmitt realmente funcionava. Com essas aproximações, consegui usar vários recursos da Wolfram Language para obter coordenadas exatas. As funções IntegerChop (multiplicando por 6984) e ReflectPoints ajudaram a criar os 38 planos médios.

E voltaremos a isso. Agora que consegui esse caso, quis usar o artigo de Schmitt para gerar todos os plesioedros.

Tetraedros em Schmitt

Tetraedros encontrados no artigo de Schmitt.

Podemos encontrar suas células de tesselação.

Tetraedros que preenchem o espaço

Parece que já estamos deixando alguns de fora.

Existem cinco tetraedros conhecidos que preenchem o espaço quando imagens espelhadas não são permitidas. David Hilbert Hill (1896), Baumgartner (1968) e Duncan Sommerville (1923) enumeraram, cada um, quatro dos cinco.

Michael Goldberg (1972) foi o primeiro a listar todos os cinco. Ele também estudou dissecações de prismas triangulares e encontrou três formas básicas de dividir um prisma em tetraedros idênticos, quando imagens espelhadas são permitidas. Cada um desses três métodos leva a famílias infinitas de tetraedros. Todos os três métodos estão representados nos cinco tetraedros listados aqui.

Se outros tetraedros que preenchem o espaço existem é uma questão em aberto há muito tempo, que remonta a Aristóteles.

Preenchedores de espaço com 5 faces

Há muitas repetições nos dados

É necessário executar novamente uma simulação durante a noite para incluir células de transição e ângulos diedrais máximos.

Triângulos e Quadriláteros

Qualquer triângulo pode tesselar o plano. Arraste os pontos azuis para formar um novo triângulo.

Qualquer quadrilátero Q tessela o plano. A tesselação é formada ao rotacionar Q de 180° em torno dos pontos médios de suas faces. O mesmo processo é então aplicado aos quatro novos quadriláteros, e assim por diante.

Outra abordagem é usar o paralelogramo P formado ao ligar os pontos médios das faces adjacentes de Q. Tessela-se o plano com P de maneira óbvia. Em seguida, transladam-se as partes de Q das cópias de P adjacentes a P através de P para a cópia oposta de P. Depois, copia-se os três diferentes padrões nas cópias de P para formar a mesma tesselação anterior.

A tesselação funciona independentemente de Q ser convexo ou não, simples ou não, e até mesmo quando Q é tridimensional.

Poliedros de 6 faces que preenchem o espaço

Obtemos muitos cuboides na lista completa.

A quarta está errada.

Hexaedros de Michael Goldberg

Na década de 1970, Michael Goldberg tentou enumerar poliedros de vários tipos. Aqui estão seus hexaedros.

Pentágonos

Em 1918, K. Reinhardt descobriu cinco famílias diferentes de pentágonos convexos que podem tesselar o plano (1–5). Essa foi a lista completa até 1968, quando Richard Kershner escreveu sobre mais três famílias de pentágonos tesselantes (6–8). Martin Gardner escreveu sobre a lista completa de oito pentágonos tesselantes em 1975 e depois recebeu uma mensagem de Richard James III sobre outro tipo (10). Gardner atualizou os leitores da coluna Mathematical Games, mas então recebeu uma mensagem de uma dona de casa sem formação matemática, Marjorie Rice, que encontrou mais quatro famílias de pentágonos tesselantes (8, 11–13). Em 1985, Rolf Stein encontrou um 14º pentágono convexo que pode tesselar o plano.

Em 29 de julho de 2015, um 15º tipo foi anunciado por Casey Mann, Jennifer McLoud e David Von Derau. Esta demonstração fornece soluções exatas para todas as 15 famílias.

Poliedros de 7 faces que preenchem o espaço

Dois dos pentágonos tesselantes são esporádicos.

Devido a problemas de similaridade, selecionamos apenas aqueles com uma estrutura de grafo diferente. Eu deveria ter mantido controle dos ângulos diedrais.
Poderia ter mostrado uma lista muito mais longa para ilustrar quantos dos prismas pentagonais estão faltando.

Também é necessário acompanhar o número de elementos do grupo e dar preferência às células menores.

Heptaedros de Goldberg

Lista de heptaedros de Goldberg (1976).

Poliedros de 8 faces que preenchem o espaço

Devido a problemas de similaridade, selecionamos apenas aqueles com estrutura de grafo diferente. Eu deveria ter mantido controle dos ângulos diedrais.

Octaedros espaciais de Goldberg

Lista de octaedros de Goldberg (1979).

Ângulo diedral

Como já mencionei o ângulo diedral algumas vezes.

Essas faces parecem bem planas.

Mas aparentemente não são totalmente planas.

Poliedros de 9 faces que preenchem o espaço

Devido a problemas de similaridade, selecionamos apenas aqueles com estrutura de grafo diferente. Eu deveria ter mantido controle dos ângulos diedrais.

O 18º problema de Hilbert: Construção do espaço a partir de poliedros congruentes

1. Quantos grupos espaciais existem? Resposta: 230
2. Existem tesselações nas quais dois dos ladrilhos não podem ser relacionados pelo grupo subjacente?
3. Empacotamento de esferas mais denso.

Algumas respostas são conhecidas para a questão 2, mas ainda há muito pouco progresso em direção a uma solução completa.

Há duas soluções para a questão 2 apenas no caso dos pentágonos. Aqui está a imagem da Forbes… feita por mim.