數學遊戲：分形第一部分 — 應用、複數集合與替換規則

作者： Ed Pegg
這是名為「數學遊戲」的實況演講系列的一部分，我們將使用 Wolfram 語言探索各種遊戲和謎題。在本集內容中，我們將探討分形。
YouTube 頻道鏈接：https://www.youtube.com/live/hPEs0ardvo4

demonstrations.wolfram.com

許多示範涉及分形

加德納中的分形

馬丁加德納所涵蓋的一些分形包括：
潘洛斯密鋪
康威的超現實數
曼德布洛特分形
分形音樂
二進位格雷碼
龍曲線
掱形

伯努瓦·曼德博（1924 年 11 月 20 日－2010 年 10 月 14 日）

我第一次與伯努瓦聯絡是在 1990 年，那時我要求他允許我使用曼德布洛特集。他回覆說：「你是第一個來問的。你不需要我的許可，這是一個數學對象。也就是説，你有我的許可。」
後來，他透過 periodictable.com 聯絡我們，希望借用我們的一個鈾樣品，所以我們寄了一個給他。之後才得知，他曾在聯合國發表過關於核能安全的演講。他演講中提到：「我是搭地鐵來這裏的。」然後他把一大塊耗乏鈾放在講台上—就在聯合國大樓裏—並發表了他的演說。之後，他把樣品寄還給我們。

二進位數

僅僅觀察二進位數就會導向一個分形。
In[]:=
ArrayPlot[Transpose[Table[IntegerDigits[n,2,6],{n,1,2^6-1}]]]
Out[]=
In[]:=
ArrayPlot[Transpose[Table[IntegerDigits[n,2,8],{n,1,2^8-1}]]]
Out[]=
In[]:=
ArrayPlot[Transpose[Table[IntegerDigits[n,3,4],{n,1,3^4-1}]]]
Out[]=
不用說，到處都充滿了分形。

英國海岸線有多長？（作者：Jaime Rangel-Mondragon）

In[]:=
Text@EntityValue[Entity["WolframDemonstration","HowLongIsTheCoastOfBritain"],"Caption"]
Out[]=
This Demonstration examines the coastline paradox, studied by Benoit Mandelbrot (1924–2010) in his influential 1967 short paper "How Long Is the Coast of Britain?" [3]. The smaller the length of the measuring stick, the longer the length of the coast appears, so that in the limit the coast of the island of Great Britain is of infinite length! Starting from an empirical law obtained previously by Richardson, Mandelbrot introduced the idea of "fractals", concluding that it is meaningless to talk about the length of a coastline and proposing a generalization of the concept of fractal dimension to measure the degree of roughness involved in such measurements.
​
refine
後來，伯努瓦試圖弄清楚「朱利亞集合在什麼情況下是連結的？」

二次朱利亞集合（作者：Stephen Wolfram）

產生朱利亞集合（作者：Alijah Travascio-Green）

朱利亞集合與伯努瓦集合（作者：Mark McClure）

曼德布洛特集合的放大視圖 (作者：S. M. Blinder)

德羅斯特效應（作者：Arnoud Buzing）

分形迷宮（作者：Ed Pegg Jr）

皮亞諾曲線探索器（作者：Robert Dickau）

H-分形 （作者：Sándor Kabai）

三角形分形 （作者：Sándor Kabai）

龜-圖 （作者：Michael Trott）

AnglePath （作者：Ed Pegg Jr）

給龍充氣 （作者：Borut Levart, Sander Huisman）

n-雪片（作者：Eric W Weisstein，Michael Croucher）

分形直角三角形（作者：Ed Pegg Jr）

替換鋪磚 （作者：Ed Pegg Jr）

Vesa Timonen 的塑性五邊形

設置這些並不簡單。我需要改進我的程式碼。相同的顏色應該對應相同的大小。
應該看起來更像這樣：
由 Karl Scherer 撰寫，內容類似
Ammann 椅，採用黃金比例

各種分形替換

IFSTile 程式提供了數百種其他 3 階的分形不可約多邊形。這裏只列舉了幾個：

三階非分形 Irreptiles

以下是我所知道的所有三階非分形 irreptiles：
1. 無限多的直角三角形，以及 drafter3。
2. 四個長方形，可變形為平行四邊形。
3. 一組無窮多的四邊形，具有兩個直角，還有 tritan2。
4. Vesa Timonen 的不規則五邊形。
5. 椅子形，由 Mineyuki Uyematsu、Jun-ichi Miyoshi、Robert Ammann（以及 Karl Scherer）和 Dale Walton 設計。
大多數分形都是重複執行某個步驟。
對於 ρ 存在一個自相似的分形。綠色線上的數字表示 ρ 的一個複數根的特定冪次。
這個塑性分形三角形展示了一個無窮級數。增加迭代次數可以讓分形效果更佳。

有超黃金比例的海螺與分形三角形

PsiQuad 是一種自我定義的分形圖：
我們可以利用分形，透過混沌遊戲來建立。這個方法會從兩個選項中隨機選擇下一個點。經過多次迭代後，會產生兩個相似的分形三角形。
我們也可以將這個波浪狀的邊緣生成到任意想要的分形深度。
這兩個三角形組合起來構成第三個相似的三角形，因此這是一個自相似的剖分，irreptile，或者稱為 Rauzy fractal。
針對這些四邊形。
利用此形狀，我們得到了一個分形鸚鵡螺：
這些物件的連續排列會自行覆蓋。

初始化

果園

Rep-Tiles （作者：Erich Friedman、George Freeman、Karl Scherer）

Irreptiles（作者：Karl Scherer、Michael Reid、Rodolfo Kurchan、Ernesto Amezcua、George Freeman 以及 George Sicherman）

分形曲線的參數化 （作者：Cedric Voisin）

八面體分形 （作者：Ferenc Holló Szabó、Sándor Kabai）

分形四面體 （作者：Sándor Kabai）

八面體中的分形四面體 （作者：Sándor Kabai）

孟格海綿切片 （作者：Robert Dickau）

謝爾賓斯基四面體中的球體（作者：Sándor Kabai）

Apollonian Gasket （作者：Michael Schreiber）

具有可變半徑的 Ford 圓 （作者：Ethan Zack, Jonathan Kogan）

正交方案鋪貼看起來是什麼樣子？

我一直打算弄清楚。第一步是確保外部四面體和較小的四面體具有相同的方向。
現在我們可以使用重心座標映射：
From that, we get the orthoscheme tiling:
由此，我們得到正交方案的鋪貼：
另一個正交方案也是類似的：

每個單元分割為九個所定義的替換系統 （作者：Daniel de Souza Carvalho）

已命名二元笛卡爾二維字串重寫系統 (作者：Michael Schreiber)

三維旋轉替代系統的演化 （作者：Enrique Zeleny）

引用此筆記本

數學遊戲：分形 第一部分 - 應用、複數集與替代規則
Wolfram 社群精選文章，2025 年 11 月 20 日