Exponentielles dans les algèbres non commutatives : Zassenhaus, BCH et Magnus

par Mohammad Bahrami
Article original
Voici l’exposé que j’ai présenté à la conférence sur les technologies Wolfram de 2025. Il présente une exploration approfondie des formules de Zassenhaus, Baker–Campbell–Hausdorff et Magnus qui décomposent les exponentielles de sommes d’opérateurs dans des cadres non commutatifs. Nous détaillons leurs dérivations, leurs applications et des formulations algorithmiques récentes pour des développements de haut degré. Une attention particulière est accordée aux implémentations symboliques dans Wolfram Language, mettant en évidence des calculs efficaces à l’aide de fonctions conçues sur mesure et de structures algébriques. Nous discuterons des applications à la théorie des opérateurs, des algèbres de Lie et de l’analyse symbolique des matrices. Je pense que de nouveaux outils pour effectuer des calculs algébriques non commutatifs peuvent ouvrir de nouveaux horizons en informatique quantique, depuis la simulation de la correction d’erreurs jusqu’à l’étude des systèmes quantiques ouverts et du bruit. RÉFÉRENCE : Mads Bahrami, Expanding Exponentials in Noncommutative Algebras: The Zassenhaus and Baker–Campbell–Hausdorff Formulas, conférences sur les technolofies Wolfram de 2025. https://www.wolfram.com/events/technology-conference/2025/​​Série de Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) :

1


2


m
…
=
m
∑
j=1

j
+
∞
∑
n=2

n

​Série de Zassenhaus :
m
∑
j=1

m

=
m
∏
j=1

j

∏
k=2

k

​Série de Magnus :
Y(t)
t
=A(t)Y(t)⇒Y(t)=
∞
∑
n=1
Ω
n
(t)
e

Initialisation


Action adjointe

L’action adjointe de
A
sur un autre opérateur
B
est définie comme la commutation
[A,B]
. L’action adjointe exponentielle
A

B
-A

=
ad
A

B
avec
ad
A
[B]=[A,B]
est un résultat direct et intéressant.
In[]:=
ClearAll[A,B]​​adjointAction[A,B,1]
Out[]=
A**B-B**A
L’adjoint itéré d’ordre
j
de
A
est défini comme le commutateur emboîté à
n
niveaux de
A
avec
B
, noté
(j)
ad
A
[B]=[A,[A,…[A,B]…]]
 :
In[]:=
adjointAction[A,B,2]==Commutator[A,Commutator[A,B]]
Out[]=
True
In[]:=
adjointAction[A,B,3]==Commutator[A,Commutator[A,Commutator[A,B]]]
Out[]=
True
Nous étudierons quelques exemples issus de l’optique quantique. Pour ce faire, définissons d’abord une fonction permettant de réduire des polynômes non commutatifs d’opérateurs d’annihilation et de création.

Exemples

Relation de commutation bosonique


a
,
†

a
=1
Considérez
λ
†
a
a

a
-λ
†
a
a

. Calculez 10 termes de l’adjoint exponentiel :
In[]:=
NCPolynomialReductionBosonicSumNCPolynomialReductionBosonic[adjointAction[λ
†
a
**a,a,j],{λ}]j!,{j,0,10},{λ}
Out[]=
a1-λ+
2
λ
2
-
3
λ
6
+
4
λ
24
-
5
λ
120
+
6
λ
720
-
7
λ
5040
+
8
λ
40320
-
9
λ
362880
+
10
λ
3628800
Vérifiez que la somme de 10 termes est la même que le développement de Taylor de
-λ

In[]:=
Normal[Series[
-λ

,{λ,0,10}]]==CoefficientRules[%,a,
†
a
][[1,-1]]
Out[]=
True
Ainsi, nous avons réussi à vérifier
λ
†
a
a

a
-λ
†
a
a

=
-λ

a
Considérez
1
2

*
ζ
2
a
-ζ
2
†
a


a
-
1
2

*
ζ
2
a
-ζ
2
†
a


avec
ζ=r
ϕ

. Calculez 10 termes dans l’adjoint exponentiel :
In[]:=
NCPolynomialReductionBosonicSumNCPolynomialReductionBosonicadjointAction
1
2
(
-ϕ

a**a-
ϕ

†
a
**
†
a
),a,jj!,{,ϕ},{j,0,10},{,ϕ}
Out[]=
a1+
2

2
+
4

24
+
6

720
+
8

40320
+
10

3628800
+
ϕ

+
1
6
ϕ

3

+
1
120
ϕ

5

+
ϕ

7

5040
+
ϕ

9

362880
†
a
Vérifiez que
1
2

*
ζ
2
a
-ζ
2
†
a


a
-
1
2

*
ζ
2
a
-ζ
2
†
a


=ua+v
†
a
avec
u=cosh(r)
et
v=-
ϕ

sinh(r)
 :
In[]:=
Normal[Series[Cosh[],
ϕ

Sinh[],{,0,10}]]==CoefficientRules[%,a,
†
a
][[All,-1]]
Out[]=
True

Série de Baker-Campbell-Hausdorff (BCH)

La série BCH exprime le produit de deux ou plusieurs exponentielles d’opérateurs non commutatifs en tant qu’exponentielle unique :

1


2


m
…
=
m
∑
j=1

j
+
∞
∑
n=2

n

Pour deux opérateurs,
X+Y

, on obtient la formule de Dynkin :

m
=
m
∑
n=1
n-1
(-1)
n
∑
p
1
+
q
1
>0,…,
p
n
+
q
n
>0,
n
∑
j=1
(
p
j
+
q
j
)=m-1
p
1
ad
X
q
1
ad
Y
…
p
n
ad
X
q
n
ad
Y
p
1
!
q
1
!…
p
n
!
q
n
!
(X+Y)
.
Affichez quelques termes de
A

B

=
A+B+
∑
n=2

n

In[]:=
ClearAll[A,B];​​TableForm[Table[{n,TraditionalForm@BakerCampbellHausdorffTerms[{A,B},n,"CommutatorForm"->True]},{n,2,4}],TableHeadings->{None,{"n","

n
"}},TableAlignments->Left]
Out[]//TableForm=
n

n
2
[A,B]
2
3
-
[A,[A,B]]
12
-
[A,[B,A]]
6
-
[B,[A,B]]
6
-
[B,[B,A]]
12
4
[A,[A,[A,B]]]
16
+
[A,[A,[B,A]]]
16
+
[A,[B,[A,B]]]
24
+
[A,[B,[B,A]]]
16
+
[B,[A,[A,B]]]
16
+
[B,[A,[B,A]]]
12
+
[B,[B,[A,B]]]
16
+
[B,[B,[B,A]]]
16
La plupart des opérateurs quantiques appartiennent à de petites algèbres de Lie (Heisenberg–Weyl, SU(2), SU(1,1)), où les chaînes de commutateurs se tronquent ou se ferment, ce qui permet à la formule de BCH de fournir des identités exponentielles propres, sous forme fermée.

Ordre normal et relations de Weyl

Nous explorerons quelques exemples impliquant des opérateurs photoniques, où le champ de photons monomode satisfait la relation de commutation bosonique


a
,
†

a
=1
.

Opérateurs d’annihilation et de création :

Considérez l’expression :
μ
†

a

ν

a

=
μ
†

a
+ν

a
+
∑
n

n

Calculez le terme d’ordre 2 de la série BCH :
In[]:=
BakerCampbellHausdorffTerms[μa,ν
†
a
,2]
Out[]=
1
2
(aμ)**(ν
†
a
)-
1
2
(ν
†
a
)**(aμ)
Réduisez-le ou simplifiez-le :
In[]:=
NCPolynomialReductionBosonic[%,{μ,ν}]
Out[]=
μν
2
Notez que le résultat est uniquement un nombre c.
Calculez le terme d’ordre 3 de la série de BCH :
In[]:=
BakerCampbellHausdorffTerms[μa,ν
†
a
,3]
Out[]=
1
12
(aμ)**(aμ)**(ν
†
a
)-
1
6
(aμ)**(ν
†
a
)**(aμ)+
1
12
(aμ)**(ν
†
a
)**(ν
†
a
)+
1
12
(ν
†
a
)**(aμ)**(aμ)-
1
6
(ν
†
a
)**(aμ)**(ν
†
a
)+
1
12
(ν
†
a
)**(ν
†
a
)**(aμ)
Réduisez-le :
In[]:=
NCPolynomialReductionBosonic[%,{μ,ν}]
Out[]=
0
De même, les autres termes disparaissent également. On trouve donc :
μ
†

a

ν

a

=
μ
†

a
+ν

a
+μν/2


Position et quantité de mouvement canoniques

Considérez les opérateurs canoniques de position et de quantité de mouvement : ​

q
=
1
2
(

a
+
†

a
)
et

p
=
1

2
(

a
-
†

a
)
Définissez les opérateurs canoniques de position et de quantité de mouvement :
In[]:=
q=(a+
†
a
)
2
;p=(a-
†
a
)
2
;
Vérifiez que


q
,

p
=
Calculez le deuxième terme de la série de BCH :
Montrez que les termes d’ordre supérieur sont nuls :

Opérateur de déplacement

Notez que le résultat est un nombre c.
Démontrez que les termes d’ordre supérieur sont nuls :

Rotations de spin SU(2)

Calculez le deuxième terme de la série de BCH :

Exemple numérique

Notez que, dans les exemples précédents, tous les opérateurs étaient symboliques. On peut également utiliser la même chose avec des opérateurs numériques.

Série de Zassenhaus

Opérateur de déplacement :

Calculez la forme réduite du terme d’ordre 2 dans la série de Zassenhaus :
Notez que le résultat est un nombre c, ce qui implique que les termes d’ordre supérieur sont nuls :
Calculez le deuxième terme de la série de Zassenhaus :

Erreur de Trotter pour SU(2)

Décomposition de Gauss/Wei–Norman de SU(2)

En les réunissant, on obtient :
Définissez des variables non commutatives :
En réunissant les résultats ci-dessus et en les simplifiant, on obtient :
Donc, il en va de même pour le résultat final que nous avons obtenu ci-dessus :
Égalisez les coefficients :
Résolvez-les :
Réinjectez le résultat dans la solution :

Série de Magnus

Affichez trois termes de la série de Magnus (sans intégration temporelle) :

Exemples

Pour chaque terme, trouvez le coefficient des matrices de Pauli (gardez à l’esprit que nous n’aurons que des termes linéaires) :
Maintenant, répétons le même processus, mais cette fois-ci en attribuant des valeurs explicites aux matrices de Pauli et en effectuant les calculs de commutation/de produit scalaire :
Comme prévu, les coefficients devant les matrices de Pauli sont les mêmes que ceux que nous avons obtenus à partir de calculs algébriques non commutatifs.
Calculez l’opérateur unitaire :

CITER CE NOTEBOOK

Exponentielles dans les algèbres mon commutatives : Zassenhaus, BCH et Magnus​
par Mohammad Bahrami​
Communauté Wolfram, CHOIX DE L’ÉQUIPE, 2 décembre 2025
​https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/3584499