Exponenciales en álgebras no conmutativas: Zassenhaus, BCH y Magnus
Exponenciales en álgebras no conmutativas: Zassenhaus, BCH y Magnus
por Mohammad Bahrami
Este cuaderno es una traducción al español del artículo de la Comunidad Wolfram “Exponentials in noncommutative algebras: Zassenhaus, BCH and Magnus” producido con ayuda de un LLM y verificado por un traductor profesional
Esta es la charla que dí en la Conferencia de Tecnología Wolfram 2025. Presenta una exploración profunda de las fórmulas de Zassenhaus, Baker–Campbell–Hausdorff y Magnus, las cuales descomponen exponenciales de sumas de operadores en contextos no conmutativos. Detallamos sus deducciones, aplicaciones y formulaciones algorítmicas recientes para expansiones de alto grado. Se presta especial atención a las implementaciones simbólicas en Wolfram Language, mostrando el cálculo eficiente utilizando funciones y estructuras algebraicas creadas a medida. Se discutirán aplicaciones a la teoría de operadores, álgebras de Lie y análisis simbólico de matrices. Considero que nuevas herramientas para realizar cálculos algebraicos no conmutativos pueden abrir nuevos horizontes en la computación cuántica, desde la simulación de corrección de errores hasta el estudio de sistemas cuánticos abiertos y ruido. CITA: Mads Bahrami, Expanding Exponentials in Noncommutative Algebras: The Zassenhaus and Baker–Campbell–Hausdorff Formulas, Wolfram Technology Conference 2025. https://www.wolfram.com/events/technology-conference/2025/Serie de Baker-Campbell-Hausdorff (BCH): =+Serie de Zassenhaus: =Serie de Magnus: =A(t)Y(t)⇒Y(t)=(t)
1
2
m
…
m
∑
j=1
j
∞
∑
n=2
n
m
∑
j=1
m
m
∏
j=1
j
∏
k=2
k
Y(t)
t
∞
∑
n=1
Ω
n
e
Inicialización
Inicialización
In[]:=
ClearAll[BakerCampbellHausdorffTerms,ZassenhausTerms,MagnusTerms]BakerCampbellHausdorffTerms=ResourceFunction["BakerCampbellHausdorffTerms"];ZassenhausTerms=ResourceFunction["ZassenhausTerms"];MagnusTerms=ResourceFunction["MagnusTerms"];
Función adjunta
In[]:=
ClearAll[adjointAction];adjointAction[a_,b_,n_:1]:=adjointAction[a,b,n,NonCommutativeMultiply]adjointAction[a_,b_,0,alg:(_NonCommutativeAlgebra|Dot|{Dot,_}|Composition|TensorProduct|NonCommutativeMultiply)]:=badjointAction[a_,b_,n_:1,alg:(_NonCommutativeAlgebra|Dot|{Dot,_}|Composition|TensorProduct|NonCommutativeMultiply)]:= Nest[If[MatchQ[alg,NonCommutativeMultiply],Commutator[a,#],Commutator[a,#,alg]]&,b,n]/;n>=1
Defina una función para reducir/simplificar un polinomio NCA de y :
a
†
a
In[]:=
ClearAll[NCPolynomialReductionBosonic]NCPolynomialReductionBosonic[exp_,scalars_:{}]:=NonCommutativePolynomialReduce[exp,Commutator[a,]-1,a,,NonCommutativeAlgebra[<|"ScalarVariables"->scalars|>]][[-1]]
†
a
†
a
Dada el álgebra y las variables, defina una función para reducir un polinomio en (base cartesiana):
J
j
In[]:=
ClearAll[NCPolynomialReductionSU2]NCPolynomialReductionSU2[exp_,vars_,scalars_:{},scale_:1]/;Length[vars]==3:=NonCommutativePolynomialReduce[exp,DeleteCases[0]@Flatten@(Outer[Commutator,vars,vars]- scale TensorContract[TensorProduct[LeviCivitaTensor[3],vars],{{3,4}}]),{vars},NonCommutativeAlgebra[<|"ScalarVariables"->scalars|>]][[-1]]
Con =±, se obtiene y
Esto significa que también tienen álgebra SU(2). Normalmente se les denomina base de Cartan–Weyl.
J
±
J
1
J
2
[,]=±
J
3
J
±
J
±
[,]=2
J
+
J
-
J
3
Esto significa que
{,,}
J
+
J
-
J
3
In[]:=
ClearAll[NCPolynomialReductionSU2Weyl]NCPolynomialReductionSU2Weyl[exp_,vars_,scalars_:{}]/;Length[vars]==3:=NonCommutativePolynomialReduce[exp,{Commutator@@vars[[;;2]]-2vars[[-1]],Commutator[vars[[-1]],vars[[1]]]-vars[[1]],Commutator[vars[[-1]],vars[[2]]]+vars[[2]]},{vars},NonCommutativeAlgebra[<|"ScalarVariables"->scalars|>]][[-1]]
Acción adjunta
Acción adjunta
La acción adjunta de sobre otro operador se define como la conmutación . Un resultado directo e interesante es la acción adjunta exponencial B=B con [B]=[A,B]
A
B
[A,B]
A
-A
ad
A
ad
A
In[]:=
ClearAll[A,B]adjointAction[A,B,1]
Out[]=
A**B-B**A
El -ésimo adjunto iterado de se define como el conmutador anidado veces de con , denotado por [B]=[A,[A,…[A,B]…]]:
j
A
n
A
B
(j)
ad
A
In[]:=
adjointAction[A,B,2]==Commutator[A,Commutator[A,B]]
Out[]=
True
In[]:=
adjointAction[A,B,3]==Commutator[A,Commutator[A,Commutator[A,B]]]
Out[]=
True
Estudiaremos algunos ejemplos de óptica cuántica. Para ello, primero definamos una función para reducir polinomios no conmutativos de operadores de aniquilación y creación.
Ejemplos
Ejemplos
Relación de conmutación bosónica
,=1
a
†
a
Considere a. Calcule 10 términos en el adjunto exponencial:
λa
†
a
-λa
†
a
In[]:=
NCPolynomialReductionBosonicSumNCPolynomialReductionBosonic[adjointAction[λ**a,a,j],{λ}]j!,{j,0,10},{λ}
†
a
Out[]=
a1-λ+-+-+-+-+
2
λ
2
3
λ
6
4
λ
24
5
λ
120
6
λ
720
7
λ
5040
8
λ
40320
9
λ
362880
10
λ
3628800
Verifique que la suma de 10 términos es igual al desarrollo de Taylor de
-λ
In[]:=
Normal[Series[,{λ,0,10}]]==CoefficientRules[%,a,][[1,-1]]
-λ
†
a
Out[]=
True
Así que logramos verificar a=a
λa
†
a
-λa
†
a
-λ
Considere -ζa con . Calcule 10 términos en el adjunto exponencial:
1
2
*
ζ
2
a
2
†
a
--ζ
1
2
*
ζ
2
a
2
†
a
ζ=r
ϕ
In[]:=
NCPolynomialReductionBosonicSumNCPolynomialReductionBosonicadjointAction(a**a-**),a,jj!,{,ϕ},{j,0,10},{,ϕ}
1
2
-ϕ
ϕ
†
a
†
a
Out[]=
a1++++++++++
2
2
4
24
6
720
8
40320
10
3628800
ϕ
1
6
ϕ
3
1
120
ϕ
5
ϕ
7
5040
ϕ
9
362880
†
a
Verifique -ζa=ua+v con y :
1
2
*
ζ
2
a
2
†
a
--ζ
1
2
*
ζ
2
a
2
†
a
†
a
u=cosh(r)
v=-sinh(r)
ϕ
In[]:=
Normal[Series[Cosh[],Sinh[],{,0,10}]]==CoefficientRules[%,a,][[All,-1]]
ϕ
†
a
Out[]=
True
Serie de Baker-Campbell-Hausdorff (BCH)
Serie de Baker-Campbell-Hausdorff (BCH)
La serie BCH expresa el producto de dos o más exponenciales de operadores no conmutativos como una sola exponencial: =+
1
2
m
…
m
∑
j=1
j
∞
∑
n=2
n
Para dos operadores, , se obtiene la fórmula de Dynkin: =+>0,…,+>0,(+)=m-1…!!…!!(X+Y).
X+Y
m
m
∑
n=1
n-1
(-1)
n
∑
p
1
q
1
p
n
q
n
n
∑
j=1
p
j
q
j
p
1
ad
X
q
1
ad
Y
p
n
ad
X
q
n
ad
Y
p
1
q
1
p
n
q
n
Muestre algunos términos de =
A
B
A+B+
∑
n=2
n
In[]:=
ClearAll[A,B];TableForm[Table[{n,TraditionalForm@BakerCampbellHausdorffTerms[{A,B},n,"CommutatorForm"->True]},{n,2,4}],TableHeadings->{None,{"n",""}},TableAlignments->Left]
n
Out[]//TableForm=
n | n |
2 | [A,B] 2 |
3 | - [A,[A,B]] 12 [A,[B,A]] 6 [B,[A,B]] 6 [B,[B,A]] 12 |
4 | [A,[A,[A,B]]] 16 [A,[A,[B,A]]] 16 [A,[B,[A,B]]] 24 [A,[B,[B,A]]] 16 [B,[A,[A,B]]] 16 [B,[A,[B,A]]] 12 [B,[B,[A,B]]] 16 [B,[B,[B,A]]] 16 |
La mayoría de los operadores cuánticos pertenecen a pequeñas álgebras de Lie (Heisenberg–Weyl, SU(2), SU(1,1)), donde las cadenas de conmutadores se truncan o cierran, lo cual permite que la fórmula BCH produzca identidades exponenciales limpias y de forma cerrada.
Orden normal y relaciones de Weyl
Orden normal y relaciones de Weyl
Exploraremos algunos ejemplos que involucran operadores fotónicos, donde el campo fotónico de un solo modo satisface la relación de conmutación bosónica .
,=1
a
†
a
Operador de aniquilación y creación:
Operador de aniquilación y creación:
Reduzca/simplifíquelo:
Tenga en cuenta que el resultado es solo un c-número.
Calcule el término de orden 3 de la serie BCH:
Redúzcalo:
Posición y momento canónicos
Posición y momento canónicos
Defina los operadores canónicos de posición y momento:
Calcule el segundo término en la serie BCH:
Demuestre que los términos de orden superior son cero:
Operador de desplazamiento
Operador de desplazamiento
Tenga en cuenta que el resultado es un número c.
Demuestre que los términos de orden superior son cero:
Rotaciones de espín SU(2)
Rotaciones de espín SU(2)
Calcule el segundo término de la serie BCH:
Ejemplo numérico
Ejemplo numérico
Tenga en cuenta que en los ejemplos anteriores todos los operadores eran simbólicos. También se puede utilizar lo mismo con operadores numéricos.
Serie de Zassenhaus
Serie de Zassenhaus
Operador de desplazamiento:
Operador de desplazamiento:
Calcule la forma reducida del término de orden 2 en la serie de Zassenhaus:
Observe que el resultado es un número c, lo cual implica que los términos de orden superior son cero:
Calcule el segundo término en la serie de Zassenhaus:
Calcule algunos términos (el tercero y siguientes) y muestre que son cero:
Error de Trotter SU(2)
Error de Trotter SU(2)
Descomposición de Gauss/Wei–Norman SU(2)
Descomposición de Gauss/Wei–Norman SU(2)
Juntándolos, se obtiene lo siguiente:
Defina variables no conmutativas:
Al juntar los resultados anteriores y simplificarlos, se obtiene:
Así que lo mismo para el resultado final que obtuvimos arriba:
Iguale los coeficientes:
Resuélvalos:
Introduzca el resultado de vuelta en la solución:
Serie de Magnus
Serie de Magnus
Muestre tres términos de la serie de Magnus (sin integración temporal):
Ejemplos
Ejemplos
Para cada término, encuentre el coeficiente para las matrices de Pauli (tenga en cuenta que solo tendremos términos lineales):
Ahora repitamos el mismo proceso, pero esta vez asignando valores explícitos a las matrices de Pauli y realizando los cálculos de conmutación/producto punto:
Como se esperaba, los coeficientes delante de las matrices de Pauli son los mismos que obtuvimos a partir de los cálculos algebraicos no conmutativos.
Calcule el operador unitario:
CITE ESTE CUADERNO
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Exponenciales en álgebras no conmutativas: Zassenhaus, BCH y Magnus
por Mohammad Bahrami
Comunidad Wolfram, STAFF PICKS, 2 de diciembre de 2025
https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/3584499
por Mohammad Bahrami
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