Matrices de Dirac dans un espace-temps courbe

par Mohammad Bahrami
Article original

Vue d’ensemble

Le progiciel DiracMatrix (lien Github) construit des matrices gamma de Dirac qui satisfont la relation d’anticommutation de Clifford pour une métrique symétrique réelle arbitraire dans toute dimension. Il utilise la construction de Brauer–Weyl (Pauli–Kronecker) dans un espace plat et s’étend aux métriques courbes/non plates au moyen d’une décomposition en vielbeins. Il expose également des transformations de base vers les représentations de Dirac et de Weyl/chirale, ainsi que deux implémentations de la base canonique des opérateurs gradués de Clifford.
Le code source du progiciel se trouve dans Kernel/DiracMatrix.wl. Les symboles publics exportés sont GammaMatrices, EuclideanGammaMatrices, FlatMetric, RandomCurvedMetric, MetricVielbein, ToDiracBasis, ToWeylBasis, NumericZeroQ, CliffordCanonicalBasis et CliffordBasis.

Contexte mathématique

Relation de Clifford

La propriété caractéristique des matrices gamma de Dirac est la relation d’anticommutation de Clifford :
{
μ
γ
,
ν
γ
}=
μ
γ
ν
γ
+
ν
γ
μ
γ
=2
μν
η

N
où N = 2^Floor[n/2] est la dimension spinoriale pour un espace-temps à n dimensions.

Représentation de Brauer-Weyl (Pauli-Kronecker)

Pour n = 2m ou n = 2m + 1, voici une réalisation en espace plat en termes de matrices de Pauli σ_j :
2k-1
Γ
=
⊗(k-1)

⊗
σ
1
⊗
⊗(m-k)
σ
3
2k
Γ
=
⊗(k-1)

⊗
σ
2
⊗
⊗(m-k)
σ
3
et, pour les valeurs impaires de n, voici un
2m+1
Γ
=
⊗m
σ
3
supplémentaire.

Métrique signée-diagonale

Pour une métrique plate
η
μν
= diag(+1, ..., +1, -1, ..., -1) avec p entrées positives et q entrées négatives, les matrices gamma sont :
μ
γ
=
μ
Γ
if
μμ
η
=+1
μ
γ
=
μ
Γ
if
μμ
η
=-1
L’algèbre obtenue est Cl(p, q).

Construction du Vielbein pour des métriques générales

Pour une métrique symétrique réelle générale g, un vielbein
a
e
μ
(x) est calculé de sorte que
g
μν
=
a
e
μ
b
e
ν
η
ab
(de manière équivalente, g =
T
e
· η · e), et :
μ
γ
(x)=
μ
e
a
a
Γ
où η est la matrice de signature et Γ^a sont les matrices gamma de l’espace plat dans le repère orthonormé.

Chargement du progiciel

PacletDirectoryLoad["path/DiracMatrixPackage"];​​Needs["DiracMatrix`"]

Référence de fonction

Liste des symboles publics :
In[]:=
?DiracMatrix`*
Out[]=
DiracMatrix`
CliffordBasis
EuclideanGammaMatrices
GammaMatrices
NumericZeroQ
ToDiracBasis
CliffordCanonicalBasis
FlatMetric
MetricVielbein
RandomCurvedMetric
ToWeylBasis
Exemples de messages d’utilisation :
In[]:=
?GammaMatrices
Out[]=
Symbol
GammaMatrices[n] returns n Euclidean gamma matrices of dimension 2^Floor[n/2] in the Brauer–Weyl (Pauli–Kronecker) representation.GammaMatrices[η] returns gamma matrices satisfying the Clifford relation {​
μ
γ
​,​
ν
γ
​} = 2
μν
η
 for any real symmetric metric η. For a flat diagonal metric of signature (p,q) the result is 
μ
Γ
for time-like indices and
μ
Γ
for space-like indices; for a general metric a vielbein decomposition is used.
In[]:=
?EuclideanGammaMatrices
Out[]=
Symbol
EuclideanGammaMatrices[n] returns the n Euclidean gamma matrices in the Brauer–Weyl representation:
2 k - 1
Γ
=
⊗ (k - 1)

⊗
σ
1
⊗
⊗ (m - k)
σ
3
​,
2 k
Γ
=
⊗ (k - 1)

⊗
σ
2
⊗
⊗ (m - k)
σ
3
​, and for odd n a final
2 m + 1
Γ
=
⊗ m
σ
3
.
In[]:=
?FlatMetric
Out[]=
Symbol
FlatMetric[p, q] returns the diagonal flat metric DiagonalMatrix[Join[ConstantArray[1,p], ConstantArray[-1,q]]] of signature (p,q).
In[]:=
?RandomCurvedMetric
Out[]=
Symbol
RandomCurvedMetric[p, q] (or RandomCurvedMetric[p, q, a, s]​) returns a random real symmetric non-diagonal metric of signature (p,q) constructed as
T
Q
. Λ . Q with Q ∈ O(n) a random orthogonal matrix and Λ a diagonal matrix whose first p eigenvalues are
2
s
r
10
and last q eigenvalues are -
2
s
r
10
for independent r drawn uniformly from [-a, a]. The default a = 2 gives a condition number κ ~
2 a
10
​; s = 1 sets the typical magnitude of the metric components.
In[]:=
?MetricVielbein
Out[]=
Symbol
MetricVielbein[η] returns {signature, vielbein} for the real symmetric metric η, where signature = DiagonalMatrix[Sign[eigenvalues]​] and the vielbein e satisfies
T
e
. signature . e = η.
In[]:=
?ToDiracBasis
Out[]=
Symbol
ToDiracBasis[γ] takes a list of gamma matrices in the Brauer–Weyl basis and returns them in the Dirac basis where
0
γ
is diagonal.
In[]:=
?ToWeylBasis
Out[]=
Symbol
ToWeylBasis[γ] takes a list of gamma matrices in the Brauer–Weyl basis and returns them in the Weyl/chiral basis. For odd dimension there is no chiral decomposition; the Dirac basis is returned with a message.
In[]:=
?CliffordBasis
Out[]=
Symbol
CliffordBasis[η] returns the canonical graded Clifford operator basis using the antisymmetrised recursion
Γ
ℐ ⋃ {μ}
=
Γ
ℐ
·
Γ
μ
-
|ℐ|
∑
j = 1
j - 1
(-1)
η
μ, i_j
Γ
ℐ ∖ {i_j}
. Much faster than CliffordCanonicalBasis and numerically stable; agrees with it on flat metrics at all grades.
In[]:=
?CliffordCanonicalBasis
Out[]=
Symbol
CliffordCanonicalBasis[η] returns the canonical graded operator basis of the Clifford algebra Cl(η) as a list grouped by grade {grade-0, grade-1, …, grade-n}. The grade-k element on indices
i
1
​, …,
i
k
is the explicitly antisymmetrised product
1
k!
∑
σ ∈ S_k
sgn(σ)
Γ
i_(σ(1))
· · ·
Γ
i_(σ(k))
. Pedagogically transparent but combinatorially expensive; for non-flat metrics with widely scaled eigenvalues precision can degrade at high grades. Prefer CliffordBasis for production use.

Espace euclidien (n = 4)

Espace de Minkowski (1, 3)

Signature scindée (2, 2)

Euclidien à six dimensions

Métrique de Schwarzschild à r = 3M

Métrique FLRW avec facteur d’échelle a = 2

Métrique aléatoire non diagonale

Base de Brauer-Weyl (sortie par défaut de GammaMatrices)

Base de Dirac

Base de Weyl/chirale

Nombre de matrices et dimension du spineur

Absence de trace

Anticommutateur (relation de Clifford)

Carré d’un seul gamma

Trace de deux gammas

Trace de quatre gammas

Identités de contraction

Identité du commutateur

Chiralité (dimension paire)

Métriques non plates

Évaluation directe

Récursion antisymétrique (prête pour la production)

Dérive sur des métriques non plates à haut niveau

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