Qubits explicados: Esfera de Bloch, rotaciones SU(2) y mediciones — Narrativa guiada, centrada en el cálculo
Qubits explicados: Esfera de Bloch, rotaciones SU(2) y mediciones — Narrativa guiada, centrada en el cálculo
por Mohammad Bahrami
Este cuaderno es una traducción al español del artículo de la Comunidad Wolfram “Qubits explained: Bloch sphere, SU(2) rotations & measurements — Guided, computation-first narrative” producido con ayuda de un LLM y verificado por un traductor profesional
Preparación: Cómo fluye este cuaderno
Preparación: Cómo fluye este cuaderno
Este cuaderno es un recorrido orientado a la computación sobre el qubit individual, cómo una descripción de espacio de Hilbert bidimensional (kets, bras, productos internos) se transforma en la esfera de Bloch geométrica, cómo las mediciones (regla de Born, bases propias, proyectores) extraen probabilidades directamente de las amplitudes, por qué se requieren las matrices de densidad para describir conjuntos y mezclas (pureza, entropía de von Neumann), y cómo la dinámica unitaria y los espinores residen en SU(2) mientras que su acción visible sobre el vector de Bloch corresponde a una rotación SO(3). En el camino, construimos explícitamente el conjunto de herramientas de operadores de Pauli, la hermiticidad, conmutadores/anticomutadores, la estructura de Levi–Civita, identidades de productos de Pauli, exponenciales en forma cerrada y más, de modo que cada afirmación abstracta sea comprobable inmediatamente de manera computacional y cada resultado pueda interpretarse tanto algebraica como geométricamente.
En otras palabras, he intentado construir un catálogo de experimentos computacionales sobre qubits individuales, herramientas y ejemplos para ayudarle a realizar experimentos computacionalmente y aprender directamente de lo que observa. Creo firmemente en una narrativa basada en la computación para el aprendizaje: en cierto sentido, si no puedo calcularlo, no puedo afirmar que lo comprendo. Esto refleja una idea muy al estilo Feynman: la comprensión real se demuestra cuando uno puede hacer la cosa, derivarla, predecirla, simularla, estimarla, en lugar de solo repetir/leer palabras.
Antes de comenzar, preste atención a algunos puntos. El entorno que ve es un cuaderno de Wolfram (Mathematica). Los cuadernos Wolfram consisten en secuencias de celdas. Observe el lado derecho de este cuaderno y podrá ver los corchetes de celda. Este cuaderno está escrito para que usted evalúe las celdas de arriba hacia abajo.
Si bien hice mi mejor esfuerzo para que las celdas de entrada fueran independientes, todavía hay variables que se definen en celdas anteriores y se utilizan más adelante, lo cual significa que algunas celdas dependen de celdas anteriores. Debe tener en cuenta estas dependencias cuando evalúe el cuaderno.
Si bien hice mi mejor esfuerzo para que las celdas de entrada fueran independientes, todavía hay variables que se definen en celdas anteriores y se utilizan más adelante, lo cual significa que algunas celdas dependen de celdas anteriores. Debe tener en cuenta estas dependencias cuando evalúe el cuaderno.
Además, la historia se presenta como una secuencia continua, similar a una película. He añadido algunos encabezados para facilitar las transiciones entre un tema y otro, pero he evitado dividir la narrativa en secciones rígidas. A veces se introduce y utiliza una característica o propiedad antes de explicar por qué se aplica, o de analizar los detalles matemáticos subyacentes. Esto es intencional, porque en este cuaderno la capacidad de aplicar una idea suele ser más importante que seguir primero una demostración abstracta. En general, el ritmo es: concepto → cálculo → interpretación.
¡Comencemos!
Números complejos como dos grados de libertad
Números complejos como dos grados de libertad
El sistema cuántico más sencillo que solemos considerar en la mecánica cuántica es aquel cuyos estados viven en un espacio de Hilbert bidimensional, lo que llamamos un solo cúbit. Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial complejo dotado de un producto interno, y es completo con respecto a la norma inducida por ese producto interno.
En tal espacio de Hilbert bidimensional, el estado del sistema puede representarse de dos maneras que parecen equivalentes pero que son conceptualmente distintas: para un sistema aislado en un estado puro definido, usamos un vector de estado normalizado (un vector complejo de dos componentes); de manera más general—especialmente al describir incertidumbre clásica sobre la preparación, entrelazamiento con un entorno o información parcial—utilizamos un operador/matriz de densidad (una matriz 2×2), que actúa sobre el mismo espacio de Hilbert y proporciona la descripción más general del estado de un cúbit. Ya sea que representemos el cúbit mediante un vector de estado o una matriz de densidad, los objetos subyacentes se construyen a partir de números complejos.
En tal espacio de Hilbert bidimensional, el estado del sistema puede representarse de dos maneras que parecen equivalentes pero que son conceptualmente distintas: para un sistema aislado en un estado puro definido, usamos un vector de estado normalizado (un vector complejo de dos componentes); de manera más general—especialmente al describir incertidumbre clásica sobre la preparación, entrelazamiento con un entorno o información parcial—utilizamos un operador/matriz de densidad (una matriz 2×2), que actúa sobre el mismo espacio de Hilbert y proporciona la descripción más general del estado de un cúbit. Ya sea que representemos el cúbit mediante un vector de estado o una matriz de densidad, los objetos subyacentes se construyen a partir de números complejos.
Un número complejo se puede escribir como , donde y son números reales y es la unidad imaginaria, definida por =-1.
El mismo número también se puede expresar en forma polar como, donde es el valor absoluto (módulo) de , y φ es su argumento (ángulo).
El conjugado complejo de, denotado por , se da por =x-y, o equivalentemente en forma polar. En resumen, un número complejo contiene dos grados de libertad reales.
z=x+y
x
y
2
El mismo número también se puede expresar en forma polar como
z=r
φ
r=z
z
El conjugado complejo de
z
*
z
*
z
z=r
-φ
Calcule el conjugado complejo de :
3+2
In[]:=
Conjugate[3+2]
Out[]=
3-2
Encuentre en forma polar:
3+2
In[]:=
AbsArg[3+2]
Out[]=
13
,ArcTan2
3
Verifique que la forma polar sea la misma que el número complejo original:
In[]:=
#1&@@AbsArg[3+2]==3+2
#2
Out[]=
True
Como se mencionó, el número complejo tiene dos grados de libertad: . Usándolos, se puede construir la forma polar del número complejo.
3+2
{3,2}
In[]:=
ToPolarCoordinates[{3,2}]
Out[]=
13
,ArcTan2
3
La multiplicación de un número complejo por su conjugado complejo es siempre un número real no negativo. Este producto se escribe como z o , y normalmente se denota por el cuadrado absoluto . Dada la forma polar, se puede escribir =. La norma habitual de (también llamada el módulo) es .
*
z
z
*
z
2
z
2
z
2
r
z
z=z=r
State Vectors and Normalization (Norms, Global Phase, Degrees of Freedom)
State Vectors and Normalization (Norms, Global Phase, Degrees of Freedom)
Vectores de estado y normalización (normas, fase global, grados de libertad)
Vectores de estado y normalización (normas, fase global, grados de libertad)
Para un sistema cuántico de dos niveles (qubit), un estado puro se representa (hasta una fase compleja general como ) mediante un vector complejo de dos componentes, que normalmente se denomina vector de estado. Por ejemplo, el vector representa un estado cuántico puro. Supondremos que todos los vectores de estado están normalizados, lo que significa que su norma es igual a 1. Para un vector con componentes y , es decir, ={,} , la norma se define como , donde * denota el conjugado complejo y “·” denota el producto escalar habitual. El conjugado complejo de un vector se obtiene tomando el conjugado complejo de cada uno de sus componentes.
φ
,
1
2
3
2
v
v
0
v
1
v
v
0
v
1
||||=.=+
v
*
v
v
2
v
0
2
v
1
Calcule el conjugado complejo de :
,
1
2
3
2
In[]:=
Conjugate1,
3
2Out[]=
,-
1
2
3
2
Calcule la norma de :
,
1
2
3
2
In[]:=
Norm1,
3
2Out[]=
1
Calcule la norma de explícitamente como .v:
,
1
2
3
2
*
v
In[]:=
Withvector=1,
3
2,Conjugate[vector].vector
Out[]=
1
Calcule la norma de :
{Cos[θ/2],Sin[θ/2]}
ϕ
In[]:=
FullSimplify[Norm[Cos[θ/2],Sin[θ/2]],(θ|ϕ)∈Reals]
ϕ
Out[]=
1
Calcule la norma del vector de estado :
{α,β}
In[]:=
Norm[{α,β}]
Out[]=
2
Abs[α]
2
Abs[β]
Dado que la norma de un vector de estado no es automáticamente igual a uno, a menudo multiplicamos el vector por un factor escalar global (distinto de cero), que normalmente se denomina factor de normalización, para asegurar que el estado esté normalizado.
Normalice el vector de estado :
{α,β}
In[]:=
Normalize[{α,β}]
Out[]=
+,+
α
2
Abs[α]
2
Abs[β]
β
2
Abs[α]
2
Abs[β]
En el ejemplo anterior, + es el factor de normalización.
1
2
Abs[α]
2
Abs[β]
Verifique que la norma ahora sea 1:
In[]:=
Norm@Normalize[{α,β}]//FullSimplify
Out[]=
1
Como se mencionó anteriormente, para un qubit, el vector de estado está representado por un vector de dos componentes con valores complejos, por ejemplo .
Los números y se denominan amplitudes (de probabilidad). Son los coeficientes de los estados base en la combinación lineal que describe la superposición cuántica.
{,}∈
c
1
c
2
2
Los números
c
1
c
2
Multiplicar un vector de estado por un factor de fase compleja global no cambia el estado cuántico físico que representa, porque todas las predicciones físicas (por ejemplo, las probabilidades de medición, que dependen de los cuadrados absolutos de las amplitudes ) permanecen invariantes ante una fase global.
φ
2
c
j
Calcule las probabilidades y verifique que dos estados y {α,β} son físicamente iguales:
{α,β}
φ
In[]:=
FullSimplify[==,φ∈Reals]
2
Abs[{α,β}]
2
Abs[{α,β}]
φ
Out[]=
True
Discutiremos las probabilidades de medición con más detalle más adelante.
El estado de qubit puro más general
El estado de qubit puro más general
Cuando queremos escribir un estado puro general de un solo qubit, podemos elegir una fase global de modo que el primer componente del vector de estado sea real (como si, en la forma polar, fijamos su argumento en cero), mientras que el segundo componente puede ser complejo. Si además requerimos que el estado esté normalizado, el estado puro más general de un qubit puede escribirse como , donde y . Discutiremos la motivación de tener en lugar de pronto, cuando introduzcamos la esfera de Bloch. Reformulemos esta idea de otra manera.
{Cos[θ/2],Sin[θ/2]}
ϕ
0<=θ<=π
0<=ϕ<=2π
θ/2
θ
El vector de estado de un solo qubit puede escribirse como con . Esto significa que el estado se especifica mediante dos números complejos, es decir, cuatro parámetros reales, es decir, . Imponer la normalización elimina un grado de libertad real, e identificar los vectores de estado que difieren solo por una fase compleja global elimina otro grado de libertad real. Matemáticamente, esto significa: . Por lo tanto, un estado puro de qubit queda completamente caracterizado únicamente por dos parámetros reales.
{α,β}
α,β∈
,
r
0
φ
0
r
1
φ
1
,->+,->+,->r,
r
0
φ
0
r
1
φ
1
1
2
r
0
2
r
1
r
0
φ
0
r
1
φ
1
φ
0
2
r
0
2
r
1
r
0
r
1
(-)
φ
1
φ
0
1-
2
r
φ
Notación Bra–Ket y productos internos
Notación Bra–Ket y productos internos
En la literatura de la mecánica cuántica, un vector de estado suele representarse mediante un ket. Por ejemplo, puede representar un estado puro genérico como . El conjugado hermitiano (traspuesta conjugada compleja) de un ket se denota mediante un bra. Para el estado anterior, el bra correspondiente es . El producto interno de dos estados y se escribe como , lo cual significa el producto punto del bra con el ket |ψ₂⟩.
|ψ〉
|ψ〉={Cos[θ/2],Sin[θ/2]}
ϕ
〈ψ|={Cos[θ/2],Sin[θ/2]}
-ϕ
|〉
ψ
1
|〉
ψ
2
〈|〉
ψ
1
ψ
2
〈|
ψ
1
Defina y :
|〉
ψ
1
|〉
ψ
2
In[]:=
ψ1=Cos[θ1/2],Sin[θ1/2];ψ2=Cos[θ2/2],Sin[θ2/2];
ϕ1
ϕ2
Calcule su producto interno:
In[]:=
FullSimplify[Conjugate[ψ1].ψ2,(θ1|θ2|ϕ1|ϕ2)∈Reals]
Out[]=
CosCos+SinSin
θ1
2
θ2
2
(-ϕ1+ϕ2)
θ1
2
θ2
2
Tenga en cuenta que Mathematica no impone la distinción entre “fila vs. columna” para listas de rango 1 (lo que normalmente llamamos vectores) de la misma manera que lo hace el álgebra lineal introductoria. Un vector se representa como una sola lista, en lugar de representarse explícitamente como una matriz fila de o como una matriz columna de . Como resultado, Transpose no tiene ningún efecto visible sobre un vector (una lista unidimensional), mientras que sí cambia una matriz (una lista bidimensional) intercambiando filas y columnas.
1×n
n×1
Visualice la transposición en un vector como se describe en álgebra lineal:
In[]:=
With{m={{ColorData[97][1],ColorData[97][2]}}},RowArrayPlot[m,ImageSize->Tiny,Mesh->All,MeshStyle->Black],"",ArrayPlot[Transpose@m,ImageSize->Tiny,Mesh->All,MeshStyle->Black]
Transpose
⟶
Out[]=
Transpose
⟶
Visualice la transposición en una matriz:
In[]:=
With{m={{ColorData[97][1],ColorData[97][2]},{ColorData[97][3],ColorData[97][4]}}},RowArrayPlot[m,ImageSize->Tiny,Mesh->All,MeshStyle->Black],"",ArrayPlot[Transpose@m,ImageSize->Tiny,Mesh->All,MeshStyle->Black]
Transpose
⟶
Base computacional y superposición
Base computacional y superposición
Verifique que apilar los vectores de la base computacional como las filas de una matriz produce la matriz identidad:
El mapa del vector de Bloch: Conversión de un qubit en geometría
El mapa del vector de Bloch: Conversión de un qubit en geometría
Verifique que la norma del vector de Bloch es igual a la norma al cuadrado del vector de estado:
Por lo tanto, la norma del vector de Bloch para un estado puro normalizado siempre es 1. Esto significa que, al considerar todos los posibles estados puros de qubit normalizados, sus vectores de Bloch se encuentran en la esfera unitaria en tres dimensiones. Esta esfera unitaria se denomina esfera de Bloch (o esfera de Poincaré en el contexto de la óptica).
Visualice la esfera de Bloch:
Como podemos ver, los ejes están etiquetados de una manera particular. Estas etiquetas corresponden a kets que representan estados propios de las matrices de Pauli. Más adelante hablaremos de ellos en más detalle.
Por supuesto, existen diferentes convenciones para denotar estos kets. Por ejemplo, en óptica es común utilizar diferentes etiquetas para los mismos estados, como aquellas que corresponden a la polarización de fotones horizontal/vertical, diagonal/antidiagonal o circular derecha/izquierda.
Visualice la esfera de Bloch utilizando etiquetas de óptica:
El vector de Bloch: coordenadas cartesianas y esféricas
El vector de Bloch: coordenadas cartesianas y esféricas
Como se puede observar, los ángulos θ y ϕ son exactamente las coordenadas esféricas estándar en la esfera unitaria.
Ahora, la motivación para tener θ/2 en el vector de estado es clara: si usáramos θ en vez de θ/2, los componentes del vector de Bloch involucrarían 2θ, y obtendríamos un factor extra de 2 en los ángulos esféricos sobre la esfera de Bloch.
Aparecen las matrices de Pauli: Ejes, estados propios y puntos de referencia de la esfera de Bloch
Aparecen las matrices de Pauli: Ejes, estados propios y puntos de referencia de la esfera de Bloch
Veamos nuevamente la esfera de Bloch.
Como se mencionó, las etiquetas de los ejes corresponden a los kets que representan vectores propios de las matrices de Pauli.
Muestre la forma matricial de los operadores de Pauli (matrices) junto con el operador identidad:
Calcule los valores propios de Pauli-X:
Calcule los estados propios de Pauli-X:
Si multiplicamos un valor propio por una constante distinta de cero, sigue siendo un vector propio del mismo operador con el mismo valor propio.
Representemos los estados propios normalizados del operador Pauli-X en la esfera de Bloch.
Calcule los vectores de Bloch correspondientes a los estados propios de Pauli-X:
Calcule el vector de Bloch para los estados propios de Pauli-Y:
Represente los estados propios de Pauli-Y en la esfera de Bloch:
Represente los estados propios de Pauli-Y en la esfera de Bloch usando etiquetas ópticas:
La base computacional corresponde a los estados propios de Pauli-Z y está alineada con el eje z.
Representar los estados propios de Pauli-Z en la esfera de Bloch:
Calcule los vectores de Bloch para los estados propios de Pauli-Z:
La traspuesta conjugada (también llamada conjugada hermitiana en mecánica cuántica) de una matriz se obtiene tomando la traspuesta (intercambiando filas y columnas) y luego tomando el conjugado complejo de cada elemento. El orden de estas dos operaciones no importa: se puede trasponer primero y luego conjugar, o conjugar primero y luego trasponer.
Para una matriz 2x2, visualice los elementos diagonales y fuera de la diagonal:
Verifique que los operadores de Pauli sean hermitianos:
Para una matriz hermitiana genérica de 2×2, verifique que los valores propios siempre son reales:
Verifiquemos también estas características numéricamente generando una matriz hermitiana aleatoria de 2×2 y comprobando que sus entradas diagonales son reales, que sus entradas fuera de la diagonal son conjugadas complejas entre sí, y que sus valores propios son reales.
Verifique que esta matriz sea hermitiana:
Verifique que sus entradas diagonales sean reales:
Verifique que sus entradas fuera de la diagonal sean conjugadas complejas entre sí:
Verifique que sus valores propios sean reales:
Además, para un operador hermitiano, los estados propios correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales.
Verifique que los estados propios del operador hermitiano numérico anterior sean ortogonales:
Cambio de base: Matrices unitarias como máquinas de base
Cambio de base: Matrices unitarias como máquinas de base
Verifique que sea unitaria:
En Wolfram Language, se puede comprobar directamente si una matriz es unitaria o no, utilizando UnitaryMatrixQ.
Apile nuevos vectores como las filas de una matriz y verifique que el resultado sea unitario:
Apile nuevos vectores como las columnas de una matriz y verifique que el resultado sea unitario:
Coordenadas del mismo estado en diferentes bases
Coordenadas del mismo estado en diferentes bases
Ahora hablemos de cómo calcular la representación de los estados de qubit en una nueva base.
Defina un vector de estado aleatorio normal:
Calcule el factor de normalización (que se espera que sea 1):
Verifique explícitamente la ortonormalidad de los nuevos elementos base:
Calcule el vector de estado en la nueva base:
Realicemos un cálculo similar en una base diferente. Esta vez, considere los estados propios normalizados del operador Pauli-X.
Verifique que estos estados formen un conjunto ortonormal:
Calcule el vector de estado en la base de Pauli-X:
Tenga en cuenta que, aunque la representación de coordenadas de un vector de estado es diferente en distintas bases, el estado físico en sí es el mismo.
Si reconstruye el estado tomando la combinación lineal apropiada en cualquier base dada, obtendrá el mismo vector en el espacio de Hilbert, como es de esperarse.
Si reconstruye el estado tomando la combinación lineal apropiada en cualquier base dada, obtendrá el mismo vector en el espacio de Hilbert, como es de esperarse.
Medición como probabilidades: La regla de Born en la base propia
Medición como probabilidades: La regla de Born en la base propia
¿Cuál es la principal motivación para expresar un estado en diferentes bases? Además de las ventajas matemáticas que pueden simplificar los cálculos, una razón especialmente importante proviene de la medición cuántica. Los datos experimentales se obtienen como probabilidades para diferentes resultados de medición, y estas probabilidades pueden leerse directamente de los coeficientes en la expansión del estado en una base elegida.
Valores esperados: Dos cálculos equivalentes
Valores esperados: Dos cálculos equivalentes
Antes de pasar al siguiente tema, resumamos los puntos más importantes que hemos aprendido hasta ahora:
◼
Un estado puro de un solo qubit puede representarse mediante un vector de dos componentes {α, β}, donde α y β son números complejos, también llamados amplitudes cuánticas en una base dada.
◼
La representación anterior siempre se define con respecto a una base elegida. Tenga siempre esto en cuenta: los componentes {α, β} le indican cómo se expande el estado en esa base particular
◼
Cualquier estado puro normalizado de un qubit también puede representarse como un punto en el espacio tridimensional sobre la esfera unitaria, llamada la esfera de Bloch.
◼
Existen infinitas formas de elegir una base, y la elección depende de muchos factores, a menudo de la conveniencia computacional. En la práctica, las bases propias de observables se encuentran entre las bases más utilizadas.
Tenga en cuenta que la descripción de la medición que discutimos anteriormente normalmente se denomina medición proyectiva. Las mediciones pueden ir más allá de las proyectivas: medida de operador positivo valorado (POVM). Hablaremos de ellas más adelante.
Por qué los vectores de estado puro no son suficientes: El experimento de Stern–Gerlach
Por qué los vectores de estado puro no son suficientes: El experimento de Stern–Gerlach
Aunque muchas cosas pueden calcularse utilizando únicamente vectores de estado y estados puros, existen situaciones en las que esta descripción no es suficiente.
Por ejemplo, en el famoso experimento de Stern–Gerlach—donde un haz de átomos de plata es enviado a través de un campo magnético inhomogéneo—el estado inicial de los átomos (incluso si se aproxima cada átomo solo por el espín de su electrón) suele ser un conjunto de estados en lugar de un único estado puro.
Por ejemplo, en el famoso experimento de Stern–Gerlach—donde un haz de átomos de plata es enviado a través de un campo magnético inhomogéneo—el estado inicial de los átomos (incluso si se aproxima cada átomo solo por el espín de su electrón) suele ser un conjunto de estados en lugar de un único estado puro.
Ningún estado puro puede ser no polarizado en todas las bases
Ningún estado puro puede ser no polarizado en todas las bases
Calcule las probabilidades de medida cuando se mide Pauli-Z:
Utilizando este resultado, calculemos las probabilidades de medida en la base de Pauli-X. Primero transformaremos el estado a la base propia de Pauli-X y luego calcularemos las probabilidades correspondientes.
Calcule el estado en la base propia de Pauli-X:
Imponga la condición sobre θ y calcule las probabilidades:
Hasta ahora, hemos encontrado estados puros que dan una probabilidad de 1/2 para cada resultado en mediciones tanto de Pauli-X como de Pauli-Z. Ahora dirigimos nuestra atención a las mediciones de Pauli-Y.
Si imponemos las condiciones anteriores a las probabilidades de medida en la base de Pauli-Y, se encuentra que las probabilidades de medida solo pueden ser 0 o 1, lo cual contradice el resultado experimental. Mostremos esto explícitamente.
Calcule el estado en la base propia de Pauli-Y:
Encuentre las probabilidades después de imponer condiciones para θ y ϕ:
El resultado muestra que el estado puro no puede producir probabilidades de medida de 1/2 en todas las bases. Esto motiva una descripción más general de los estados cuánticos usando una matriz de densidad. Primero, nos centraremos en la descripción mediante matriz de densidad de los estados puros y luego presentaremos otra clase de estados llamados estados mixtos, que pueden describir completamente los resultados experimentales de Stern-Gerlach.
Matrices de densidad: Qué son y cómo leer sus entradas
Matrices de densidad: Qué son y cómo leer sus entradas
Muestre la forma matricial de una matriz de densidad 2x2:
Defina la base computacional:
Defina una matriz de densidad 2x2:
Retornos dependientes de la base: Matrices de densidad en diferentes bases
Retornos dependientes de la base: Matrices de densidad en diferentes bases
Como se puede ver, al igual que el vector de estado, la representación en matriz de densidad también depende de la base elegida. En una base diferente, adopta una forma matricial diferente, aunque describa el mismo estado físico. Recordemos esta característica realizando algunos cálculos primero para el vector de estado, y luego extenderemos la misma idea a la matriz de densidad.
Considere un vector de estado simbólico en la base computacional:
Calcule su representación en la base de Pauli-Y:
Productos exteriores y proyectores
Productos exteriores y proyectores
Valores esperados mediante traza
Valores esperados mediante traza
Condición de hermiticidad en las matrices de densidad
Condición de hermiticidad en las matrices de densidad
Los operadores de Pauli son matrices sin traza, lo que significa que su traza es cero.
Verifique que los operadores de Pauli son sin traza:
Positividad, valores propios y el significado de la longitud del vector de Bloch
Positividad, valores propios y el significado de la longitud del vector de Bloch
La matriz de densidad debe ser semidefinida positiva, que es la manera matemática de decir que todas las probabilidades predichas son no negativas.
Esto implica que todos los valores propios de la matriz de densidad deben ser no negativos. Para explorar esto, primero calculemos los valores propios de la matriz de densidad.
Esto implica que todos los valores propios de la matriz de densidad deben ser no negativos. Para explorar esto, primero calculemos los valores propios de la matriz de densidad.
Transforme el vector de Bloch de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas:
Transformando el vector de Bloch de coordenadas esféricas a cartesianas:
Pureza y entropía de von Neumann: Cuantificación de mezcla
Pureza y entropía de von Neumann: Cuantificación de mezcla
Calcule la matriz de densidad del ejemplo anterior:
Verifique que el estado anterior sea mixto calculando su pureza:
lo cual es menor que uno, por lo tanto el estado es un estado mixto.
Generalicemos la función BlochVector que presentamos antes para que también acepte matrices de densidad y devuelva el vector de Bloch correspondiente.
Calcule el vector de Bloch (en coordenadas cartesianas) para el estado mixto definido anteriormente:
Base de operadores de Hilbert–Schmidt: Por qué la expansión de Pauli siempre funciona
Base de operadores de Hilbert–Schmidt: Por qué la expansión de Pauli siempre funciona
Calcule el determinante de la matriz de Gram:
Cómo se transforman las matrices de densidad bajo un cambio de base
Cómo se transforman las matrices de densidad bajo un cambio de base
Encuentre la matriz de cambio de base (unitaria) que transforma las coordenadas del estado de la base de Pauli-Y a la base de Pauli-X:
Tenga en cuenta que la matriz de densidad está en la base de Pauli Y. Ahora, transfórmela a la base de Pauli-X:
Confirme que el resultado es el mismo que la transformación del vector de estado en el paso anterior:
Ahora que podemos representar los estados geométricamente, enfoquémonos en su movimiento: ¿qué operaciones nos desplazan por la esfera de Bloch y cómo codifica el álgebra de esas operaciones las rotaciones en 3D?
Unitarias y SU(2): El hogar de la dinámica de un solo cúbit
Unitarias y SU(2): El hogar de la dinámica de un solo cúbit
Defina una función que genere matrices unitarias especiales aleatorias (elementos de SU(2)) muestreadas de la medida de Haar:
Grupos de Lie y álgebras de Lie: Generadores, exponenciales y convenciones
Grupos de Lie y álgebras de Lie: Generadores, exponenciales y convenciones
Es posible que haya notado que utilizamos el término “grupo” al referirnos a SU(2). ¿Qué es un grupo en este contexto? Un grupo es un conjunto de objetos que se pueden componer (o “multiplicar”) de una manera que se comporta bien: (i) combinar dos objetos lo mantiene dentro del conjunto (clausura), (ii) existe un elemento identidad que no altera nada, y (iii) cada elemento tiene un inverso que lo deshace. En nuestro caso, los objetos son matrices y la “multiplicación” es la multiplicación matricial ordinaria.
Así que SU(2) es un grupo matricial: si multiplica dos matrices SU(2), obtiene otra matriz SU(2).
Así que SU(2) es un grupo matricial: si multiplica dos matrices SU(2), obtiene otra matriz SU(2).
Lo que hace que SU(2) sea especialmente importante en la mecánica cuántica es que también es continuo: sus elementos varían de manera suave con parámetros reales, y se puede pasar de un elemento a otro cercano realizando un cambio arbitrariamente pequeño. Un grupo dotado de este tipo de estructura suave se denomina grupo de Lie.
Una vez que sabemos que el grupo es suave, tiene sentido estudiarlo "desde adentro hacia afuera": comenzar en la identidad (la transformación de "no hacer nada") y preguntarse qué transformaciones infinitesimales son posibles. El conjunto de estas direcciones infinitesimales es el álgebra de Lie. El grupo de Lie describe transformaciones finitas, mientras que el álgebra de Lie describe los generadores infinitesimales que, al ser exponentiados, producen transformaciones finitas.
Verifique que los operadores de Pauli también sean sin traza:
Conmutadores, Levi-Civita y la identidad del producto de Pauli
Conmutadores, Levi-Civita y la identidad del producto de Pauli
Dimensiones del tensor de Levi-Civita 3D:
Visualice el tensor de Levi-Civita en 3D:
De álgebra a rotaciones
De álgebra a rotaciones
SU(2) actúa como SO(3) sobre el vector de Bloch
SU(2) actúa como SO(3) sobre el vector de Bloch
Muestre que dos resultados son iguales:
En resumen, un qubit individual puede representarse como un punto en la esfera de Bloch, y las transformaciones unitarias del estado del qubit actúan como rotaciones de esa esfera. SO(3) es el nombre matemático para las rotaciones tridimensionales ordinarias de esa “flecha” de la esfera de Bloch, el mismo tipo de rotaciones que se aplicarían a un objeto rígido en el espacio.
SU(2) es el ámbito matemático de las propias operaciones sobre el qubit (nuevamente, centrándose en la parte de “rotación pura” e ignorando la fase global).
Cuando se aplica una operación SU(2) al estado del qubit, su efecto visible sobre la esfera de Bloch es una rotación SO(3). El álgebra de Lie (2) es la versión “infinitesimal” de SU(2): describe las tendencias instantáneas y diminutas de rotación que se pueden aplicar en la operación identidad. En la práctica, (2) es donde residen los generadores (las direcciones básicas de rotación que se pueden activar durante un tiempo breve), y al exponentiar esos generadores infinitesimales se obtienen los unitarios SU(2) finitos que se utilizan en un qubit.
SU(2) es el ámbito matemático de las propias operaciones sobre el qubit (nuevamente, centrándose en la parte de “rotación pura” e ignorando la fase global).
Cuando se aplica una operación SU(2) al estado del qubit, su efecto visible sobre la esfera de Bloch es una rotación SO(3). El álgebra de Lie (2) es la versión “infinitesimal” de SU(2): describe las tendencias instantáneas y diminutas de rotación que se pueden aplicar en la operación identidad. En la práctica, (2) es donde residen los generadores (las direcciones básicas de rotación que se pueden activar durante un tiempo breve), y al exponentiar esos generadores infinitesimales se obtienen los unitarios SU(2) finitos que se utilizan en un qubit.
La doble cubierta: por qué 2π parece ser la identidad en la esfera pero no en SU(2)
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Dicho esto, existe una sutileza que merece ser discutida. SU(2) contiene más información de la que muestra la flecha de Bloch: dos operaciones SU(2) diferentes pueden producir exactamente la misma rotación SO(3) en la esfera de Bloch, diferenciándose únicamente por un signo global en el estado subyacente. Por eso una rotación de 360° devuelve la flecha de Bloch a su posición original, pero no restaura completamente la descripción subyacente de SU(2); se necesitan 720° para volver exactamente al punto de partida.
División de exponenciales y omisión del término identidad (perspectiva de Zassenhaus)
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Proyectores como mediciones: Preguntas de sí/no y filtrado de estados
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Medición general de espín
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Regla de Born en forma de Bloch
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Más allá de las mediciones proyectivas: POVM
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POVM: Estados posteriores a la medida
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POVM y canales cuánticos
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Visualice el cambio en el espacio disponible en la esfera de Bloch debido a una medida X no nítida:
POVM: Mismas estadísticas, diferentes mediciones
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Visualice el cambio en el espacio disponible en la esfera de Bloch debido a una medida X imprecisa:
Cuando usted “agrega una unitaria” a un operador de Kraus, no está cambiando las estadísticas de lectura de la medición, sino que está modificando lo que le sucede al estado cuántico después de que la medición informa un resultado. Piense en ello como añadir una caja de control extra después del detector: primero el detector produce una etiqueta de resultado (como “+” o “−”), y luego, dependiendo de cuál etiqueta haya aparecido, la caja de control aplica una rotación al qubit.
El punto crucial es que los efectos POVM determinan únicamente con qué frecuencia aparece cada etiqueta, no lo que el dispositivo hace al estado. Por lo tanto, puede mantener los mismos efectos (y, en consecuencia, las mismas probabilidades de resultado para cada estado de entrada) mientras modifica la retroacción agregando una unitaria dependiente del resultado. En la práctica, esto modela experimentos reales donde se realiza retroalimentación, se corrigen errores activamente o simplemente se dispone de hardware que aplica naturalmente una fase o rotación condicional como parte del proceso de lectura.
Lo que cambia, entonces, son los estados posteriores a la medición. Si observa el estado condicionado a un resultado particular, en general será una versión rotada del estado que habría obtenido sin esa unitaria extra. Eso significa que si repite la medición, o si utiliza el estado post-medir como entrada para compuertas posteriores, el comportamiento subsecuente puede ser muy diferente—aunque las frecuencias brutas de los resultados de la medición sean idénticas. En otras palabras, puede construir dos dispositivos que “reporten los mismos resultados con las mismas probabilidades”, pero uno de ellos deja al sistema ligeramente desplazado hacia un valor propio, mientras que el otro lo desplaza y además lo impulsa (lo rota) de una manera que depende del resultado.
El punto crucial es que los efectos POVM determinan únicamente con qué frecuencia aparece cada etiqueta, no lo que el dispositivo hace al estado. Por lo tanto, puede mantener los mismos efectos (y, en consecuencia, las mismas probabilidades de resultado para cada estado de entrada) mientras modifica la retroacción agregando una unitaria dependiente del resultado. En la práctica, esto modela experimentos reales donde se realiza retroalimentación, se corrigen errores activamente o simplemente se dispone de hardware que aplica naturalmente una fase o rotación condicional como parte del proceso de lectura.
Lo que cambia, entonces, son los estados posteriores a la medición. Si observa el estado condicionado a un resultado particular, en general será una versión rotada del estado que habría obtenido sin esa unitaria extra. Eso significa que si repite la medición, o si utiliza el estado post-medir como entrada para compuertas posteriores, el comportamiento subsecuente puede ser muy diferente—aunque las frecuencias brutas de los resultados de la medición sean idénticas. En otras palabras, puede construir dos dispositivos que “reporten los mismos resultados con las mismas probabilidades”, pero uno de ellos deja al sistema ligeramente desplazado hacia un valor propio, mientras que el otro lo desplaza y además lo impulsa (lo rota) de una manera que depende del resultado.
Dónde nos deja esto (y qué sigue)
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Ahora dispone de un conjunto de herramientas completo, orientado a la computación, para comprender un solo qubit desde múltiples perspectivas coherentes: vectores de estado y bases, la geometría de la esfera y la bola de Bloch, cómo se extraen las probabilidades de medición y los valores esperados, por qué las matrices de densidad son necesarias para los conjuntos y la mezcla, y cómo la dinámica unitaria se construye a partir del álgebra de Pauli y se organiza mediante la relación SU(2) a SO(3) (incluido el sutil punto de doble recubrimiento). Con estas ideas unificadas, el mensaje central del cuaderno se vuelve práctico: prepare un estado, cambie de representación cuando sea útil, evolucione dicho estado con un mapa unitario y lea las predicciones directamente de los operadores de medición apropiados, siempre con la posibilidad de comparar el álgebra con la geometría. A partir de aquí, las continuaciones más naturales son avanzar más allá de las mediciones proyectivas ideales hacia modelos de medición más generales, y abordar dinámicas realistas como el ruido y la decoherencia, que convierten las rotaciones de sistemas cerrados en evolución de sistemas abiertos y hacen que la representación con la bola de Bloch sea aún más valiosa.
CITE ESTE CUADERNO
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Qubits explicados: Esfera de Bloch, rotaciones SU(2) y mediciones — Narrativa guiada, centrada en el cálculo
por Mohammad Bahrami
Comunidad Wolfram, STAFF PICKS, 3 de diciembre 2025
https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/3585466
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