Explication des qubits : sphère de Bloch, rotations SU(2) et mesures — récit guidé, axé d’abord sur le calcul

par Mohammad Bahrami
Article original

Planter le décor : organisation de ce notebook

Ce notebook est une présentation axée sur le calcul du qubit unique, expliquant comment une description dans un espace de Hilbert bidimensionnel (kets, bras, produits scalaires) se transforme en boule de Bloch géométrique, comment les mesures (règle de Born, bases propres, projecteurs) lisent directement les probabilités à partir des amplitudes, pourquoi les matrices de densité sont nécessaires pour décrire les ensembles et la mixité (pureté, entropie de von Neumann), et comment la dynamique unitaire et les spineurs coexistent dans SU(2) alors que leur action visible sur le vecteur de Bloch est une rotation SO(3). En chemin, nous construisons explicitement la boîte à outils des opérateurs de Pauli : hermiticité, commutateurs/anti-commutateurs, structure de Levi–Civita, identités de produits de Pauli, exponentielles en forme fermée et davantage, de sorte que chaque affirmation abstraite soit immédiatement testable par le calcul et que chaque résultat puisse être interprété à la fois algébriquement et géométriquement.
En d’autres termes, j’ai tenté de construire un catalogue d’expériences computationnelles sur des qubits uniques, des outils et des exemples qui vous aident à exécuter des expériences de manière computationnelle et à apprendre directement par rapport à ce que vous observez. Je crois fermement en un récit axé d’abord sur le calcul pour l’apprentissage : en un sens, si je ne peux pas le calculer, je ne peux pas prétendre le comprendre. Cela fait écho à une idée très « feynmanienne » : une compréhension réelle se manifeste lorsque vous pouvez faire la chose, la dériver, la prédire, la simuler, l’estimer, plutôt que simplement répéter ou lire des mots.
Avant de commencer, faites attention à quelques points. L’environnement que vous voyez est un notebook Wolfram (Mathematica). Les notebooks Wolfram sont constitués de séquences de cellules. Regardez le côté droit de ce notebook et vous pouvez voir les crochets de cellule. Ce notebook est rédigé de manière à ce que vous deviez évaluer les cellules de haut en bas. Bien que j’aie fait de mon mieux pour rendre les cellules d’entrée indépendantes, il existe encore des variables définies dans des cellules précédentes et utilisées plus tard, ce qui signifie que certaines cellules dépendent des précédentes. Vous devriez être attentif à ces dépendances lorsque vous évaluez le notebook.
De plus, l’histoire est présentée comme une séquence continue, comme un film. J’ai ajouté quelques titres pour faciliter les transitions d’un sujet à un autre, mais j’ai évité de découper le récit en sections rigides. Parfois, une fonctionnalité ou une propriété est introduite et utilisée avant que nous n’expliquions pourquoi elle s’applique ou que nous détaillions les aspects mathématiques sous‑jacents. Cela est intentionnel, car dans ce notebook la capacité d’appliquer une idée compte souvent davantage que de suivre d’abord une démonstration abstraite. Globalement, le rythme est : concept → calcul → interprétation.
Si vous avez des suggestions ou des questions, veuillez nous contacter à quantum@wolfram.com
Commençons !

Les nombres complexes avec deux degrés de liberté

Le système quantique le plus simple que nous considérons généralement en mécanique quantique est celui dont les états vivent dans un espace de Hilbert bidimensionnel, que nous appelons un qubit unique. Un espace de Hilbert est un espace vectoriel complexe muni d’un produit scalaire, et il est complet par rapport à la norme induite par ce produit scalaire. Dans un tel espace de Hilbert bidimensionnel, l’état du système peut être représenté de deux manières qui paraissent équivalentes mais sont conceptuellement distinctes : pour un système isolé dans un état pur bien défini, nous utilisons un vecteur d’état normalisé (un vecteur complexe à deux composantes) ; de manière plus générale, lorsque nous décrivons en particulier une incertitude classique concernant la préparation, un enchevêtrement avec un environnement ou une information partielle, nous utilisons un opérateur ou une matrice de densité (une matrice 2×2), qui agit sur le même espace de Hilbert et fournit la description la plus générale de l’état d’un qubit.
Que nous représentions le qubit par un vecteur d’état ou par une matrice de densité, les objets sous-jacents sont construits à partir de nombres complexes.
Un nombre complexe peut être écrit avec
z=x+y
, où
x
et
y
sont des nombres réels et  est l’unité imaginaire, définie par
2

=-1
. Le même nombre peut aussi être écrit sous forme polaire avec
z=r
φ

, où
r=z
est la valeur absolue (module) de
z
, et φ est son argument (angle). Le conjugué complexe de
z
, noté
*
z
, est donné par
*
z
=x-y
, ou de manière équivalente
z=r
-φ

sous forme polaire. En résumé, un nombre complexe contient deux degrés de liberté réels.
Calculez le conjugué complexe de
3+2
 :
In[]:=
Conjugate[3+2]
Out[]=
3-2
Trouvez
3+2
sous forme polaire :
In[]:=
AbsArg[3+2]
Out[]=

13
,ArcTan
2
3

Vérifiez que la forme polaire est la même que le nombre complexe original  :
In[]:=
#1
#2

&@@AbsArg[3+2]==3+2
Out[]=
True
Comme indiqué, le nombre complexe  
3+2
possède deux degrés de liberté :
{3,2}
. En les utilisant, on peut construire la forme polaire du nombre complexe.
In[]:=
ToPolarCoordinates[{3,2}]
Out[]=

13
,ArcTan
2
3

La multiplication d’un nombre complexe par son conjugué complexe est toujours un nombre réel non négatif. Ce produit s’écrit
*
z
z
ou
z
*
z
, et est généralement noté par le carré de la valeur absolue
2
z
. Étant donnée la forme polaire, on peut écrire
2
z
=
2
r
. La norme usuelle de
z
(appelée aussi le module) est
z=z=r
.

Vecteurs d’état et normalisation (normes, phase globale, degrés de liberté)

Pour un système quantique à deux niveaux (qubit), un état pur est représenté (à un facteur de phase complexe global près tel que
φ

) par un vecteur complexe à deux composantes, généralement appelé le vecteur d’état. Par exemple, le vecteur

1
2
,
3
2

représente un état quantique pur. Nous supposerons que tous les vecteurs d’état sont normalisés, ce qui signifie que leur norme est égale à 1. Pour un vecteur
v
dont les composantes sont
v
0
et
v
1
, c’est-à-dire
v
={
v
0
,
v
1
}
, la norme est définie avec
||
v
||=
*
v
.
v
=
2

v
0

+
2

v
1

, où * désigne le conjugué complexe et « · » désigne le produit scalaire usuel. Le conjugué complexe d’un vecteur est obtenu en prenant le conjugué complexe de chacune de ses composantes.
Calculez le conjugué complexe de

1
2
,
3
2

 :
In[]:=
Conjugate1,
3
2
Out[]=

1
2
,-

3
2

Calculez la norme de

1
2
,
3
2

 :
In[]:=
Norm1,
3
2
Out[]=
1
Calculez la norme de

1
2
,
3
2

explicitement avec
*
v
.v
 :
In[]:=
Withvector=1,
3
2,√(Conjugate[vector].vector)
Out[]=
1
Calculez la norme de
{Cos[θ/2],
ϕ

Sin[θ/2]}
 :
In[]:=
FullSimplify[Norm[Cos[θ/2],
ϕ

Sin[θ/2]],(θ|ϕ)∈Reals]
Out[]=
1
Calculez la norme du vecteur d’état
{α,β}
 :
In[]:=
Norm[{α,β}]
Out[]=
2
Abs[α]
+
2
Abs[β]
Comme la norme d’un vecteur d’état n’est pas automatiquement égale à un, nous multiplions souvent le vecteur par un facteur scalaire global (non nul), généralement appelé facteur de normalisation, afin de garantir que l’état est normalisé.
Normalisez le vecteur d’état
{α,β}
 :
In[]:=
Normalize[{α,β}]
Out[]=

α
2
Abs[α]
+
2
Abs[β]
,
β
2
Abs[α]
+
2
Abs[β]

Dans l’exemple ci-dessus,
1
2
Abs[α]
+
2
Abs[β]
correspond au facteur de normalisation.
Vérifiez que la norme est maintenant 1 :
In[]:=
Norm@Normalize[{α,β}]//FullSimplify
Out[]=
1
Comme mentionné précédemment, pour un qubit, le vecteur d’état est représenté par un vecteur à deux composantes de valeurs complexes, par exemple
{
c
1
,
c
2
}∈
2

. Les nombres
c
1
et
c
2
s’appellent amplitudes (de probabilité).
Ce sont les coefficients des états de base dans la combinaison linéaire qui décrit la superposition quantique.
La multiplication d’un vecteur d’état par un facteur de phase complexe global
φ

ne modifie pas l’état quantique physique qu’il représente, car toutes les prédictions physiques (par exemple, les probabilités de mesure, qui dépendent des modules au carré des amplitudes
2

c
j

) restent inchangées par une phase globale.
Calculez les probabilités et vérifiez que deux états
{α,β}
et
φ

{α,β}
sont physiquement identiques :
In[]:=
FullSimplify[
2
Abs[{α,β}]
==
2
Abs[
φ

{α,β}]
,φ∈Reals]
Out[]=
True
Nous discuterons des probabilités de mesure plus en détail ultérieurement.

L’état pur d’un qubit le plus général

Lorsque nous voulons écrire un état pur général d’un qubit unique, nous pouvons choisir une phase globale de sorte que la première composante du vecteur d’état soit réelle (comme si, dans la forme polaire, nous fixions son argument à zéro), tandis que la seconde composante peut être complexe. Si nous exigeons également que l’état soit normalisé, l’état pur d’un qubit le plus général peut être écrit sous la forme
{Cos[θ/2],
 ϕ

Sin[θ/2]}
où
0<=θ<=π
et
0<=ϕ<=2π
.
Nous discuterons bientôt de la raison pour laquelle nous utilisons
θ/2
plutôt que
θ
lorsque nous introduirons la sphère de Bloch. Reformulons maintenant cette idée différemment.
Le vecteur d’état d’un qubit unique peut être écrit avec
{α,β}
où
α,β∈
. Cela signifie que l’état est spécifié par deux nombres complexes, c’est-à-dire quatre paramètres réels, c’est-à-dire

r
0

φ
0

,
r
1

φ
1


. En imposant la normalisation, on élimine un degré de liberté réel, et en identifiant les vecteurs d’état qui ne diffèrent que par une phase complexe globale, on élimine un autre degré de liberté réel. Mathématiquement, cela signifie :

r
0

φ
0

,
r
1

φ
1

->
1
2
r
0
+
2
r
1

r
0

φ
0

,
r
1

φ
1

->

φ
0

2
r
0
+
2
r
1

r
0
,
r
1
(
φ
1
-
φ
0
)

->r,
1-
2
r
φ


. Par conséquent, un état pur de qubit est entièrement caractérisé par seulement deux paramètres réels.

Notation bra–ket et produits scalaires

Dans la littérature de mécanique quantique, un vecteur d’état est généralement noté par un ket. Par exemple,
|ψ〉
peut représenter un état pur générique tel que
|ψ〉={Cos[θ/2],
ϕ

Sin[θ/2]}
. Le conjugué hermitien (transposé conjugué complexe) d’un ket est noté par un bra. Pour l’état ci-dessus, le bra correspondant est
〈ψ|={Cos[θ/2],
-ϕ

Sin[θ/2]}
.
Le produit scalaire de deux états
|
ψ
1
〉
et
|
ψ
2
〉
s’écrit
〈
ψ
1
|
ψ
2
〉
, c’est-à-dire le produit scalaire du bra
〈
ψ
1
|
avec le ket |ψ₂⟩.
Définissez
|
ψ
1
〉
et
|
ψ
2
〉
 :
In[]:=
ψ1=Cos[θ1/2],
ϕ1

Sin[θ1/2];​​ψ2=Cos[θ2/2],
ϕ2

Sin[θ2/2];
Calculez leur produit intérieur :
In[]:=
FullSimplify[Conjugate[ψ1].ψ2,(θ1|θ2|ϕ1|ϕ2)∈Reals]
Out[]=
Cos
θ1
2
Cos
θ2
2
+
(-ϕ1+ϕ2)

Sin
θ1
2
Sin
θ2
2

Notez que Mathematica n’impose pas la distinction entre « ligne et colonne » pour les listes de rang 1 (que nous appelons généralement des vecteurs) de la même manière que l’algèbre linéaire introductive le fait.
Un vecteur est représenté comme une liste unique, plutôt que de manière explicite comme une matrice de ligne
1×n
ou comme une matrice de colonne
n×1
. Par conséquent, Transpose n’a aucun effet visible sur un vecteur (une liste 1D), tandis qu’il modifie bien une matrice (une liste 2D) en échangeant ses lignes et ses colonnes.
Visualisez la transposition sur un vecteur comme décrit en algèbre linéaire :
In[]:=
With{m={{ColorData[97][1],ColorData[97][2]}}},RowArrayPlot[m,ImageSize->Tiny,Mesh->All,MeshStyle->Black],"
Transpose
⟶
",ArrayPlot[Transpose@m,ImageSize->Tiny,Mesh->All,MeshStyle->Black]
Out[]=
Transpose
⟶
Visualisez la transposition sur une matrice :
In[]:=
With{m={{ColorData[97][1],ColorData[97][2]},{ColorData[97][3],ColorData[97][4]}}},RowArrayPlot[m,ImageSize->Tiny,Mesh->All,MeshStyle->Black],"
Transpose
⟶
",ArrayPlot[Transpose@m,ImageSize->Tiny,Mesh->All,MeshStyle->Black]

Base computationnelle et superposition

Vérifiez que l’empilement des vecteurs de base computationnelle en tant que lignes d’une matrice donne la matrice d’identité :

La carte du vecteur de Bloch : transformation d’un qubit en géométrie

Vérifiez que la norme du vecteur de Bloch est égale à la norme au carré du vecteur d’état :
Par conséquent, la norme du vecteur de Bloch pour un état pur normalisé est toujours égale à 1. Cela signifie qu’en considérant tous les états purs et normalisés possibles de qubit, leurs vecteurs de Bloch se situent sur la sphère unité en trois dimensions. Cette sphère unité est appelée la sphère de Bloch (ou la sphère de Poincaré dans le contexte de l’optique).
Visualisez la sphère de Bloch :
Comme vous pouvez le voir, les axes sont étiquetés d’une manière particulière. Ces étiquettes correspondent à des kets qui représentent des états propres des matrices de Pauli. Nous en discuterons plus en détail plus tard.
Il existe, bien sûr, différentes conventions pour désigner ces kets. Par exemple, en optique, il est courant d’utiliser différentes étiquettes pour les mêmes états, comme celles correspondant à une polarisation photonique horizontale/verticale, diagonale/antidiagonale ou circulaire droite/gauche.
Visualisez la sphère de Bloch en utilisant des étiquettes provenant d’“Optics” :

Le vecteur de Bloch : coordonnées cartésiennes et sphériques

Comme on peut le voir, les angles θ et ϕ correspondent exactement aux coordonnées sphériques standard sur la sphère unité.
À présent, la motivation pour avoir θ/2 dans le vecteur d’état est claire : si nous utilisions θ au lieu de θ/2,
les composantes du vecteur de Bloch impliqueraient 2θ, et nous obtiendrions un facteur supplémentaire de 2 dans les angles sphériques sur la sphère de Bloch.

Apparition des matrices de Pauli : axes, états propres et repères de la sphère de Bloch

Regardons de nouveau la sphère de Bloch.
Comme mentionné, les étiquettes des axes correspondent à des kets qui représentent des états propres des matrices de Pauli.
Affichez la forme matricielle des opérateurs de Pauli (matrices) ainsi que l’opérateur d’identité :
Calculez les valeurs propres de Pauli-X :
Calculez les états propres de Pauli-X :
Si nous multiplions un état propre par une constante non nulle, il reste un état propre du même opérateur avec la même valeur propre.
Traçons les états propres normalisés de l’opérateur Pauli-X dans la sphère de Bloch.
Calculez les vecteurs de Bloch correspondant aux états propres de Pauli-X :
Calculez le vecteur de Bloch pour les états propres de Pauli-Y :
Tracez les états propres de Pauli-Y sur la sphère de Bloch :
Tracez les états propres de Pauli-Y dans la sphère de Bloch en utilisant des étiquettes optiques :
La base computationnelle correspond aux états propres de Pauli-Z et est alignée avec l’axe des z.
Tracez les états propres de Pauli-Z sur la sphère de Bloch :
Calculez les vecteurs de Bloch pour les états propres de Pauli-Z :
La transposée conjuguée (également appelée la conjugaison hermitienne en mécanique quantique) d’une matrice s’obtient en prenant d’abord la transposée (en échangeant les lignes et les colonnes), puis en prenant le conjugué complexe de chaque entrée. L’ordre de ces deux opérations ne change pas : vous pouvez d’abord transposer puis conjuguer, ou d’abord conjuguer puis transposer.
Vérifiez que les opérateurs de Pauli sont hermitiens :
Vérifiez que cette matrice est hermitienne :
Vérifiez que ses éléments diagonaux sont réels :
Vérifiez que ses éléments en dehors de la diagonale sont des conjugués complexes les uns des autres :
Vérifiez que ses valeurs propres sont réelles :
De plus, pour un opérateur hermitien, des états propres correspondant à des valeurs propres différentes sont orthogonaux.
Vérifiez que les états propres de l’opérateur hermitien numérique ci-dessus sont orthogonaux :

Changer de base : les matrices unitaires comme machines de base

Vérifiez qu’elle est unitaire :
La raison pour laquelle nous utilisons Chop dans le code ci-dessus est que le calcul peut impliquer de petites erreurs numériques dues à la virgule flottante. Chop remplace ces infimes valeurs résiduelles par zéro, ce qui rend le résultat plus facile à interpréter.
En Wolfram Language, on peut vérifier directement si une matrice est unitaire ou non, en utilisant UnitaryMatrixQ.
Empilez de nouveaux vecteurs en tant que lignes d’une matrice et vérifiez que le résultat est unitaire :
Empilez de nouveaux vecteurs en tant que colonnes d’une matrice et vérifiez que le résultat est unitaire :

Coordonnées du même état dans différentes bases

Parlons maintenant de la façon de calculer la représentation des états d’un qubit dans une nouvelle base.
Définissez un vecteur d’état aléatoire normal :
Calculez le facteur de normalisation (qui devrait être égal à 1) :
Vérifiez explicitement l’orthonormalité des nouveaux éléments de base :
Calculez le vecteur d’état dans la nouvelle base :
Procédons à un calcul similaire dans une base différente. Cette fois, considérez les états propres normalisés de l’opérateur Pauli-X.
Vérifiez que ces états forment un ensemble orthonormal :
Calculez le vecteur d’état dans la base de Pauli-X :
Notez que, bien que la représentation en coordonnées d’un vecteur d’état soit différente selon les bases, l’état physique lui‑même reste identique. Si vous reconstruisez l’état en prenant la combinaison linéaire appropriée dans une base donnée, vous obtenez le même vecteur dans l’espace de Hilbert, comme prévu.

Mesure en tant que probabilités : règle de Born dans la base propre

Quelle est la motivation principale pour exprimer un état dans différentes bases ? Outre les avantages mathématiques susceptibles de simplifier les calculs, une raison particulièrement importante provient de la mesure quantique.
Les données expérimentales sont obtenues sous forme de probabilités pour différents résultats de mesure, et ces probabilités peuvent être lues directement à partir des coefficients dans le développement de l’état dans une base choisie.

Valeurs d’espérance : deux calculs équivalents

Avant de passer au sujet suivant, résumons les points les plus importants que nous avons appris jusqu’à présent :
◼
  • L’état pur d’un qubit unique peut être représenté par un vecteur à deux composantes {α, β}, où α et β sont des nombres complexes, également appelés amplitudes quantiques dans une base donnée.
    • ◼
  • La représentation ci-dessus est toujours définie par rapport à une base choisie. Gardez toujours cela à l’esprit  :
    • ◼
  • les composantes {α, β} indiquent la façon dont l’état se développe dans cette base particulière
    • ◼
  • Il existe une infinité de façons de choisir une base, et le choix dépend de nombreux facteurs, souvent tels que la commodité de calcul. En pratique, les bases propres des matrices observables comptent parmi les bases les plus couramment utilisées.
    • Notez que la description de mesure que nous avons examinée ci-dessus est généralement appelée la mesure projective. Les mesures peuvent aller au-delà du cadre projectif : la mesure à valeurs d’opérateurs positifs (POVM).
    Nous les aborderons plus tard.

    La raison pour laquelle les vecteurs d’état pur ne suffisent pas : l’expérience de Stern–Gerlach

    Bien que de nombreux calculs puissent être effectués en utilisant uniquement des vecteurs d’état et des états purs,
    il existe des situations où cette description n’est pas suffisante. Par exemple, dans la célèbre expérience de Stern–Gerlach, où un faisceau d’atomes d’argent est envoyé à travers un champ magnétique inhomogène, l’état initial des atomes (même si nous approximons chaque atome uniquement par son spin électronique) est généralement un ensemble d’états plutôt qu’un seul état pur.
    La démonstration ci-dessus est modifiée à partir d’un exemple du projet de démonstrations Wolfram.

    Aucun état pur ne peut être non polarisé dans toutes les bases

    Calculez les probabilités de mesure lorsque Pauli-Z est mesuré :
    En utilisant ce résultat, calculons les probabilités de mesure dans la base de Pauli-X. Nous transformerons d’abord l’état dans la base propre de Pauli-X, puis nous calculerons les probabilités correspondantes.
    Calculez l’état dans la base propre de Pauli-X :
    Imposez la condition sur θ et calculez les probabilités :
    Jusqu’ici, nous avons trouvé des états purs qui donnent une probabilité de 1/2 pour chaque résultat dans les mesures de Pauli-X et Pauli-Z. Nous portons maintenant notre attention sur les mesures de Pauli-Y.
    Si nous imposons les conditions précédentes dans les probabilités de mesure dans la base de Pauli-Y, on constate que les probabilités de mesure ne peuvent être que 0 ou 1, ce qui contredit le résultat expérimental. Montrons-le explicitement.
    Calculez l’état dans la base propre de Pauli-Y :
    Trouvez les probabilités après avoir imposé des conditions pour θ et ϕ :
    Le résultat montre qu’un état pur ne peut pas produire des probabilités de mesure égales à 1/2 dans toutes les bases. Cela motive une description plus générale des états quantiques à l’aide d’une matrice de densité.
    Tout d’abord, nous nous concentrerons sur la description par matrice de densité des états purs, puis nous introduirons une autre classe d’états appelée états mixtes, qui peuvent décrire entièrement les résultats expérimentaux de Stern-Gerlach.

    Matrices de densité : qu’elles sont-elles et comment lire leurs entrées ?

    Définissez la base de calcul :

    Le retour des dépendances de base : les matrices de densité dans différentes bases

    Comme on peut le voir, tout comme le vecteur d’état, la représentation par matrice de densité dépend également de la base choisie. Dans une autre base, elle prend une forme matricielle différente, même si elle décrit le même état physique. Rappelons-nous cette caractéristique en effectuant d’abord quelques calculs pour le vecteur d’état, puis nous étendrons la même idée à la matrice de densité.
    Considérez un vecteur d’état symbolique dans la base computationnelle :
    Calculez sa présentation dans la base de Pauli-Y :

    Produits extérieurs et projecteurs

    Valeurs d’espérance via la Trace

    Condition d’Hermiticité sur les matrices de densité

    Les opérateurs de Pauli sont des matrices sans trace, ce qui signifie que leur trace est nulle.
    Vérifiez que les opérateurs de Pauli sont sans trace :

    Positivité, valeurs propres et la signification de la longueur du vecteur de Bloch

    La matrice de densité doit être semi‑définie positive, ce qui est la manière mathématique de dire que toutes les probabilités prédites sont non négatives. Cela implique que toutes les valeurs propres de la matrice de densité doivent être non négatives. Pour examiner cela, commençons par calculer les valeurs propres de la matrice de densité.
    Transformez les coordonnées cartésiennes du vecteur de Bloch en coordonnées sphériques :
    Transformation du vecteur de Bloch des coordonnées sphériques vers les coordonnées cartésiennes :

    Pureté et entropie de von Neumann : quantifier le degré de mélange

    Calculez la matrice de densité de l’exemple ci-dessus :
    Vérifiez que l’état ci-dessus est mixte en calculant sa pureté :
    cela est inférieur à un, donc l’état est un état mixte.
    Généralisons la fonction BlochVector que nous avons présentée auparavant afin qu’elle accepte également des matrices de densité et renvoie le vecteur de Bloch correspondant.
    Calculez le vecteur de Bloch (en coordonnées cartésiennes) pour l’état mixte défini ci-dessus  :

    Base d’opérateurs de Hilbert–Schmidt : la raison pour laquelle le développement de Pauli fonctionne toujours

    Calculez le déterminant de la matrice de Gram  :

    Comment les matrices de densité se transforment-elles lors d’un changement de base ?

    Trouvez la matrice de changement de base (unitaire) qui transforme les coordonnées d’état de la base de Pauli-Y en base de Pauli-X :
    Notez que la matrice de densité est dans la base de Pauli Y. Transformez-la maintenant en base de Pauli‑X :
    Confirmez que le résultat est le même que la transformation du vecteur d’état à l’étape précédente :
    Maintenant que nous pouvons représenter les états de manière géométrique, concentrons-nous sur leur mouvement : quelles opérations nous déplacent autour de la sphère de Bloch, et comment l’algèbre de ces opérations encode-t-elle les rotations 3D ?

    Unitaires et SU(2) : le domaine de la dynamique d’un qubit unique

    Définissez une fonction qui génère des matrices unitaires spéciales aléatoires (éléments de SU(2)) échantillonnées à partir de la mesure de Haar :

    Groupes de Lie et algèbres de Lie : générateurs, exponentielles et conventions

    Vous avez peut‑être remarqué que nous avons utilisé le terme « groupe » en faisant référence à SU(2).
    Qu’est‑ce qu’un groupe dans ce contexte ? Un groupe est un ensemble d’objets que vous pouvez composer (ou « multiplier ») d’une manière qui se comporte bien : (i) la combinaison de deux objets vous permet de rester à l’intérieur de l’ensemble (fermeture), (ii) il existe un élément neutre qui ne fait rien, et (iii) chaque élément possède un inverse qui l’annule. Dans notre contexte, les objets sont des matrices et la « multiplication » est la multiplication matricielle ordinaire. Ainsi, SU(2) est un groupe de matrices : multipliez deux matrices SU(2) et vous obtenez une autre matrice SU(2).
    Le fait que SU(2) est également continu le rend particulièrement important en mécanique quantique : ses éléments varient de manière régulière avec des paramètres réels, et l’on peut passer d’un élément à un autre proche en effectuant une modification arbitrairement petite. Un groupe doté de ce type de structure lisse est appelé un groupe de Lie.
    Une fois que nous savons que le groupe est lisse, il est logique de l’étudier « de l’intérieur vers l’extérieur » : en commençant à l’identité (la transformation « ne rien faire ») et en se demandant quelles transformations infinitésimales sont possibles. L’ensemble de ces directions infinitésimales constitue l’algèbre de Lie. Le groupe de Lie décrit les transformations finies, tandis que l’algèbre de Lie décrit les générateurs infinitésimaux qui, lorsqu’ils sont exponentiés, produisent des transformations finies.
    Vérifiez que les opérateurs de Pauli sont également sans trace :

    Commutateurs, Levi–Civita et identité du produit de Pauli

    Dimensions du tenseur de Levi-Civita en 3D :
    Visualisez le tenseur de Levi-Civita en 3D :

    De l’algèbre aux rotations

    SU(2) agit comme SO(3) sur le vecteur de Bloch

    Démontrez que deux résultats sont identiques :
    En bref, un qubit unique peut être représenté comme un point sur la sphère de Bloch, et les transformations unitaires de l’état d’un qubit agissent comme des rotations de cette sphère. SO(3) est le nom mathématique des rotations ordinaires en 3D de cette « flèche » de la sphère de Bloch, le même type de rotations que celles que l’on appliquerait à un objet rigide dans l’espace.
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    SU(2) est le cadre mathématique des opérations effectives sur le qubit lui-même (là encore, en se concentrant sur la partie « rotation pure » et en ignorant la phase globale). Lorsque vous appliquez une opération de SU(2) à l’état du qubit, son effet visible sur la sphère de Bloch est une rotation SO(3). L’algèbre de Lie (2) est la version « infinitésimale » de SU(2) : elle décrit les tendances de rotation instantanées et infinitésimales que vous pouvez appliquer à l’opération d’identité. En pratique, (2) est l’endroit où vivent les générateurs (les directions de rotation de base que vous pouvez activer pendant un court instant), et l’exponentiation de ces générateurs infinitésimaux produit les unitaires SU(2) finies que vous utilisez sur un qubit.

    Le revêtement double : la raison pour laquelle 2π ressemble à l’identité sur la sphère mais pas dans SU(2)

    Cela dit, il y a une subtilité qui mérite une certaine discussion. SU(2) contient plus d’informations que ne le montre la flèche de Bloch : deux opérations SU(2) différentes peuvent produire exactement la même rotation SO(3) sur la sphère de Bloch, ne différant que par un signe global de l’état sous-jacent. C’est pour cela qu’une rotation de 360° ramène la flèche de Bloch à elle-même, mais ne restaure pas complètement la description SU(2) sous-jacente ; il faut 720° pour revenir exactement au point de départ.

    Décomposition des exponentielles et omission du terme d’identité (intuition de Zassenhaus)

    Les projecteurs en tant que mesures : questions Oui/Non et filtrage d’état

    Mesure générale du spin

    Règle de Born sous forme de Bloch

    Au-delà des mesures projectives : POVM

    POVM : états post-mesure

    POVM et canaux quantiques

    Visualisez la variation de l’espace disponible dans la sphère de Bloch due à une mesure X non nette :

    POVM : mêmes statistiques, mesures différentes

    Visualisez le changement de l’espace disponible dans la sphère de Bloch dû à une mesure X non nette :
    Lorsque vous « ajoutez une unitaire » à un opérateur de Kraus, vous ne modifiez pas les statistiques de lecture de la mesure, vous modifiez ce qui arrive à l’état quantique après que la mesure a rapporté un résultat. Pensez-y comme au câblage d’un boîtier de contrôle supplémentaire après le détecteur : d’abord, le détecteur produit une étiquette de résultat (comme « + » ou « − »), puis, selon l’étiquette apparue, le boîtier de contrôle applique une rotation au qubit.
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    Le point crucial est que les effets de la POVM ne déterminent que la fréquence d’apparition de chaque étiquette, et non ce que le dispositif fait à l’état. Vous pouvez donc conserver les mêmes effets (et donc les mêmes probabilités de résultat pour chaque état d’entrée) tout en modifiant la rétroaction en ajoutant une unitaire dépendante du résultat. En pratique, cela modélise des expériences réelles où vous effectuez un retour d’information, corrigez activement des erreurs, ou disposez simplement d’un matériel qui applique naturellement une phase conditionnelle ou une rotation dans le cadre du processus de lecture.
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    Ce qui change, alors, ce sont les états après la mesure. Si vous considérez l’état conditionné à un résultat particulier, il sera généralement une version tournée de l’état que vous auriez obtenu sans cette unitaire supplémentaire. Cela signifie que, si vous répétez la mesure, ou si vous utilisez l’état post-mesure comme entrée pour des portes ultérieures, le comportement subséquent peut être très différent, même si les fréquences brutes des résultats de mesure sont identiques. Autrement dit, vous pouvez fabriquer deux dispositifs qui « rapportent les mêmes résultats avec les mêmes probabilités », mais l’un d’eux laisse le système doucement poussé vers un état propre, tandis que l’autre le pousse et lui donne en plus un coup (le fait tourner) d’une manière qui dépend du résultat.

    Où cela nous amène-t-il (et qu’est-ce qui vient ensuite) ?

    Vous disposez désormais d’un ensemble d’outils complet, centré sur le calcul, pour comprendre un qubit unique à partir de points de vue multiples et cohérents : vecteurs d’état et bases, géométrie de la sphère de Bloch et de la boule de Bloch, manière dont les probabilités de mesure et les valeurs d’espérance sont extraites, raison pour laquelle les matrices de densité sont nécessaires pour les ensembles et les états mixtes, et façon dont les dynamiques unitaires sont construites à partir de l’algèbre de Pauli et organisées par la relation de SU(2) à SO(3) (y compris le point subtil du double recouvrement). Ces idées étant unifiées, le message central du notebook devient pratique : préparer un état, changer de représentation lorsque cela est utile, le faire évoluer au moyen d’une application unitaire, et lire les prédictions directement à partir des opérateurs de mesure appropriés, tout en pouvant toujours confronter l’algèbre à la géométrie. À partir de là, les prolongements les plus naturels consistent à aller au-delà des mesures projectives idéales vers des modèles de mesure plus généraux, et à traiter des dynamiques réalistes telles que le bruit et la décohérence qui transforment les rotations de systèmes fermés en une évolution de systèmes ouverts et rendent la représentation par la boule de Bloch encore plus précieuse.

    CITER CE NOTEBOOK

    Explication des qubits : sphère de Bloch, rotations SU(2) et mesures — récit guidé, axé d’abord sur le calcul​
    par Mohammad Bahrami​
    Communauté Wolfram, CHOIX DE L’ÉQUIPE, 3 décembre 2025
    ​https://community.wolfram.com/groups/-/m/t/3585466