WOLFRAM NOTEBOOK

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La derivata

Gianluca Gorni, Università di Udine, www.dimi.uniud.it/gorni, dicembre 2021
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Prima parte:
zoomare in un punto
zoom
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Zoomare in un oggetto materiale

Uno zoom simulato da un dente umano fino al livello in cui si distinguono singoli atomi
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fotogramma
Il filmato completo originale si trova all’indirizzo http://imgur.com/gallery/DD8A5Ms
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Una finestra di “zoom” in un grafico

Partiamo da un semplice grafico di funzione, per esempio una parabola:
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Fissiamo un punto lungo la parabola, per esempio uno facile,
(1,1)
:
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Tracciamo un quadrato con centro nel punto:
Ingrandiamo il quadrato insieme col suo contenuto, e piazziamo l’ingrandimento a fianco del grafico di partenza:
Abbiamo ora due grafici, uno accanto all’altro. Quello di destra è uno “zoom” del grafico di sinistra.
Cosa succede se restringiamo il quadrato a sinistra?
Ossia, se aumentiamo l’ingrandimento?
Ossia, se aumentiamo il livello di zoom?
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Zoomare in un punto (2)

Questo è quanto accade dimezzando il quadrato attorno al punto:
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Zoomare in un punto (3)

Dimezzando una seconda volta:
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Zoomare in un punto (4)

Dimezzando una terza volta:
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Zoomare in un punto (interattivo)

Zoomiamo in modo continuo:
Muovendo il cursore verso sinistra si restringe il quadrato.
Si possono notare due cose:
◼
  • quando il quadratino è molto piccolo (cioè ad alti livelli di zoom), il grafico nella finestra di zoom è praticamente rettilineo;
    • ◼
  • non solo è rettilineo, ma appare fisso (non cambia posizione o inclinazione) quando si cambia il livello di zoom, purché sia sempre alto.
    • ​
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    Zoomare in un altro punto

    Muovendo il cursore verso sinistra si restringe il quadrato.
    Si possono notare tre cose:
    ◼
  • quando il quadratino è molto piccolo (cioè ad alti livelli di zoom), il grafico nella finestra di zoom è praticamente rettilineo;
    • ◼
  • non solo è rettilineo, ma appare fisso (non cambia posizione o inclinazione) mentre si cambia il livello di zoom, purché il livello sia sempre alto.
    • ​
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    Confronto fra gli zoom in due punti

    Si nota che
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  • l’inclinazione della “retta” nella finestra di zoom è diversa per i due punti.
    • ​
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    Zoom in punti qualsiasi

    ◼
  • quando il quadratino è molto piccolo (cioè ad alti livelli di zoom), il grafico nella finestra di zoom è praticamente rettilineo;
    • ◼
  • non solo è rettilineo, ma appare fisso (non cambia posizione o inclinazione) mentre si cambia il livello di zoom, purché il livello sia sempre alto.
    • ◼
  • l’inclinazione della retta nella finestra di zoom cambia in modo sostanziale al cambiare del punto in cui si fa lo zoom.
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    Proviamo a zoomare sul grafico della funzione seno:
    Si confermano le tre cose di prima:
    ◼
  • quando il quadratino è molto piccolo (cioè ad alti livelli di zoom), il grafico nella finestra di zoom è praticamente rettilineo;
    • ◼
  • non solo è rettilineo, ma appare fisso (non cambia posizione o inclinazione) mentre si cambia il livello di zoom, purché il livello sia sempre alto.
    • ◼
  • l’inclinazione della retta nella finestra di zoom cambia in modo sostanziale al cambiare del punto in cui si fa lo zoom.
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    Proviamo con un semplice polinomio di terzo grado:
    Di nuovo:
    ◼
  • quando il quadratino è molto piccolo (cioè ad alti livelli di zoom), il grafico nella finestra di zoom è praticamente rettilineo;
    • ◼
  • non solo è rettilineo, ma appare fisso (non cambia posizione o inclinazione) mentre si cambia il livello di zoom, purché il livello sia sempre alto.
    • ◼
  • l’inclinazione della retta nella finestra di zoom cambia in modo sostanziale al cambiare del punto in cui si fa lo zoom.
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    Radice quadrata

    Zoomiamo nel grafico della radice quadrata:
    Ad alti ingrandimenti l’oggetto nella finestra di zoom è stabile?
    Ad alti ingrandimenti appare sempre una retta?
    La pendenza dell’eventuale retta dipende dal punto centrale?
    Riuscite a trovare qualche punto con comportamento anomalo?
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    Radice cubica

    Zoomiamo nel grafico della radice cubica:
    Ad alti ingrandimenti l’oggetto nella finestra di zoom è stabile?
    Ad alti ingrandimenti appare sempre una retta?
    La pendenza dell’eventuale retta dipende dal punto?
    Riuscite a trovare qualche punto con comportamento anomalo?
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    Valore assoluto

    Zoomiamo nel grafico del valore assoluto:
    Ad alti ingrandimenti l’oggetto nella finestra di zoom è stabile?
    Ad alti ingrandimenti appare sempre una retta?
    La pendenza dell’eventuale retta dipende dal punto?
    Riuscite a trovare qualche punto con comportamento anomalo?
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    Una funzione altamente oscillante

    Ad alti ingrandimenti l’oggetto nella finestra di zoom è stabile?
    Ad alti ingrandimenti appare sempre una retta?
    La pendenza dell’eventuale retta dipende dal punto?
    Riuscite a trovare qualche punto con comportamento anomalo?
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    Indice di borsa

    Questo è un grafico dell’andamento dell’indice Dow Jones della borsa di New York dall’origine ai giorni nostri:
    Cosa succede se zoomiamo dentro questo grafico? Anche qui ad alti ingrandimenti vedremo delle rette?
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    Zoom nell’indice di borsa

    Esplorate a piacimento i dettagli del grafico. Ci si può leggere un secolo di storia.
    Storia ed economia a parte, le domande matematiche sono ancora queste:
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    La funzione di Van der Waerden

    La funzione definita dalla formula
    è stata introdotta da B. L. Van der Waerden nel 1930. Il suo grafico ha quest’aspetto:
    Non preoccupiamoci qui della formula, ma di cosa succede zoomando nel suo grafico.
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    Zoom nella funzione di Van der Waerden

    Questa funzione merita due livelli di zoom per apprezzare i dettagli:
    Ad alti ingrandimenti l’oggetto nella finestra di zoom è stabile?
    Ad alti ingrandimenti appare sempre una retta?
    La pendenza dell’eventuale retta dipende dal punto?
    Riuscite a trovare qualche punto con comportamento anomalo?
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    Cosa ci insegnano gli esempi

    Spesso, ma non sempre, zoomando nel grafico di una funzione succede che
    ◼
  • a forti ingrandimenti si vede una retta
    • ◼
  • la pendenza di tale retta non dipende dal livello (purché alto) di zoom
    • ◼
  • la pendenza di tale retta dipende però dal punto in cui si fa lo zoom.
    • ​
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    Esercizi

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    Seconda parte:
    Retta tangente al grafico
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    Sovrapponiamo lo zoom al grafico

    Passiamo all’ingrandimento massimo, in modo che lo zoom sia (praticamente) rettilineo:
    Tralasciamo le tacche attorno alla finestra di zoom:
    Anzi, togliamo anche lo sfondo giallo:
    Adesso il passo cruciale: trasliamo la finestra di zoom fino a sovrapporre i due punti:
    Questo è il risultato della sovrapposizione:
    Togliamo anche il riquadro:
    Prolunghiamo la retta anche fuori dal vecchio riquadro:
    La retta in rosso è chiamata retta tangente alla parabola nel punto (1,1).
    Animazione riassuntiva:
    È come se guardassimo con un occhio nel microscopio e con l’altro senza, sovrapponendo mentalmente le due immagini:
    Questa sovrapposizione è lecita e utile in certi casi, ma le due immagini concettualmente vanno tenute distinte.
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    Proviamo in un altro punto

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    Proviamo in un altro punto

    Proviamo la stessa procedura, ma ingrandendo attorno al punto di ascissa 3/10:
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    Proviamo in un punto qualsiasi

    Facciamolo in un punto generico, da scegliere col cursore:
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    Zoom e retta tangente

    Mostriamo la finestra di zoom insieme con la rette tangente finale, saltando i passaggi intermedi:
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    Rette tangenti alla parabola

    Lasciamo la sola retta tangente, tralasciando lo zoom:
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    Tangenti al grafico del seno

    Invece della parabola, prendiamo il grafico del seno:
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    Terza parte:
    La pendenza
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    Incrementi

    Consideriamo la differenza fra le ascisse dei due punti, e la differenza fra le ordinate:

    I segni delle differenze

    I segni degli incrementi dipendono dall’ordine dei punti

    In questo contesto invece di differenza di coordinate si parla spesso di incremento di coordinate. Questo può trarre in inganno perché solitamente si parla di incremento come sinonimo di aumento, di qualcosa di positivo. Qui invece un incremento può essere benissimo negativo, cioè corrispondere a un calo.
    Forse sarebbe meglio mettere in figura una freccia (vettore) invece di un segmento:
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    Pendenza di un segmento

    Facciamo ora un passo cruciale: prendiamo il rapporto fra l’incremento delle ordinate e l’incremento delle ascisse:

    La pendenza non dipende dall’ordine dei punti

    Insomma, la pendenza del segmento (o della retta) fra due punti non dipende dall’ordine in cui vengono considerati i due punti.

    Il segno della pendenza

    pendenza positiva

    La pendenza è positiva quando un punto è a sud-ovest e l’altro a nord-est:
    In altre parole: la pendenza è positiva quando un viaggiatore che deve spostarsi da sinistra verso destra lungo il segmento è costretto a salire, ossia se la quota aumenta andando da sinistra a destra.

    pendenza negativa

    La pendenza è positiva quando un punto è a nord-ovest e l’altro a sud-est:
    In altre parole: la pendenza è negativa quando un viaggiatore che deve spostarsi da sinistra verso destra lungo il segmento è costretto a scendere, ossia se la quota diminuisce andando da sinistra a destra.

    pendenza nulla

    La pendenza è zero quando i due punti sono esattamente alla stessa quota, cioè quando il segmento è orizzontale:

    Pendenza = 1

    Quando i due punti sono sulla verticale uno dell’altro (ma distinti), l’incremento di ascissa è zero, l’incremento di ordinata è diverso da zero. Come pendenza verrebbe una frazione col denominatore zero. Potremmo dire che in questa situazione la pendenza è infinita. Altri preferiscono non attribuire una pendenza a questa situazione.

    Pendenza indeterminata

    Il caso senza speranza è quando i due punti coincidono. Gli incrementi di ascissa e di ordinata sono entrambi nulli. Il loro rapporto è 0/0, che non è definibile in nessun modo. Diremo che la pendenza è indeterminata.

    Quiz di verifica

    Abbiamo capito la casistica delle pendenze?
    Lo stesso quiz, ma col conteggio delle risposte e il voto:
    Più difficile: non basta dire il segno, ma bisogna dare anche il valore esatto, basandosi sulle coordinate dei punti:
    Come sopra, ma col voto:
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    Pendenza (o coefficiente angolare) di una retta

    Concentriamoci sul segmento fra i due punti:
    Qual’è la pendenza del segmento?
    La pendenza è 3/5.
    Rammentiamo che il coefficiente angolare della retta è 3/5:
    I punti cambiano, gli incrementi cambiano, ma la pendenza del segmento è sempre la stessa, e coincide con il coefficiente angolare della retta:
    Si noterà un’eccezione: quando i due punti coincidono la pendenza è indeterminata.

    Quiz

    Mettiamoci alla prova per vedere se abbiamo capito la pendenza di una retta:
    Col contatore di risposte e il voto:
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    Pendenza “stradale” (digressione)

    A scuola guida si studia questo cartello di pericolo (salita ripida):
    La percentuale 10% del cartello è una pendenza. Questa è imparentata con la pendenza cartesiana, ma non è la stessa cosa.
    Cosa vuol dire esattamente questo 10%?
    Vuol dire che ogni 100 metri che si avanza (misurati in salita) ci si innalza di 10 metri:
    Il pezzo di destra del triangolo nero ha scopi estetici. Non entra nel conto della pendenza:
    La formula che dà la pendenza stradale è quindi
    Nell’esempio del cartello
    Il pendio mostrato nel cartello è davvero del 10%? Il seguente è un cartello veritiero:
    Il vertice in alto del triangolo nero si può spostare e la pendenza si aggiorna in tempo reale!
    Un cartello con la pendenza cartesiana al posto di quella stradale:
    Se vogliamo esprimere la pendenza stradale in termini di coordinate cartesiane la formula è più complicata di quella per la pendenza cartesiana:
    Esercizio: trovare delle formule che data la pendenza stradale diano quella cartesiana, e viceversa.
    Si potrebbe pensare che la pendenza di un grafico calcolata al modo stradale e quella calcolata come rapporto degli incrementi siano intercambiabili. Ci sono situazioni però in cui la pendenza “stradale” non ha senso. Supponiamo per esempio di avere un grafico che riporta
    Invece la pendenza calcolata come rapporto degli incrementi si misura naturalmente in metri/secondo, ed ha il significato di velocità:
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    Quarta parte:
    Dal visuale al numerico:
    le pendenze nello zoom
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    Zoom rettilineo? Sul serio?

    Abbiamo stabilito che è piuttosto frequente il seguente fenomeno:
    ◼
  • ad alti livelli di zoom attorno a un punto,
    • ◼
  • l'ingrandimento del grafico è pressoché rettilineo,
    • ◼
  • e non cambia al cambiare dello zoom.
    • Espressa così, l’idea è qualitativa. Si appoggia sul sistema visivo, che a colpo d’occhio decide se qualcosa è dritto o storto. Ci proponiamo ora di tradurla in numeri e formule e renderla quantitativa e rigorosa.
    Come facciamo a sapere se quello che vediamo nella finestra di zoom è davvero una retta?
    Cosa vediamo? Che la pendenza non è sempre la stessa! Nella finestra di zoom non c’è una retta, anche se potrebbe sembrare.
    Proviamo a un livello di zoom più alto:
    Ancora niente: la pendenza non è sempre la stessa.
    Aumentiamo una seconda volta lo zoom:
    Di nuovo la pendenza non è costante.
    Allora quell’idea dello zoom rettilineo era tutta sbagliata? Molliamo tutto e andiamo a casa?
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    Spread delle pendenze vs. ampiezza di zoom

    Niente paura, ancora un po’ di sforzo e salviamo la situazione.
    Bisogna aggiungere un fronte su cui lavorare: oltre che la pendenza terremo conto anche del livello di zoom.
    Come valore del livello di zoom useremo la semiampiezza della finestra di zoom.
    La prima semiampiezza che prendiamo è 0.5.
    Facciamo muovere il punto rosso.
    Le pendenze corrispondenti risultano comprese fra 1.7071 e 2.2247.
    Esaminiamo attentamente le pendenze con semiampiezza di zoom 0.3:
    Torniamo al secondo livello di zoom:
    Dimezziamo l’ampiezza di zoom:
    Hmm.
    Visualizziamo lo spread delle pendenze in modo grafico, in dipendenza del livello di zoom:
    I puntini rossi del grafico di destra sono tutti raccolti in un imbuto che si stringe a punta su un valore di pendenza che sembrerebbe essere 2.0:
    Morale:all’aumentare del livello di zoom succede quanto segue:
    ◼
  • il grafico diventa rettilineo all’occhio, e oltre a un certo livello di zoom non si notano cambiamenti;
    • ◼
  • se andiamo a guardare le pendenze, scopriamo che il grafico non è mai esattamente rettilineo;
    • ◼
  • però, se guardiamo i valori numerici, l’escursione delle pendenze continua a stringersi;
    • ◼
  • allo stringersi della semiampiezza di zoom le pendenze si stringono in un “imbuto”, che sembra puntare verso un valore limite.
    • Fate partire questa animazione e osservate
    Alcune cose cambiano vorticosamente:
    ◼
  • pendenza del segmento.
    • Due cose rimangono fisse imperturbabili nella tempesta:
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    Proviamo in un altro punto

    Mettendo in evidenza la zona di variazione della pendenza:
    Morale:all’aumentare del livello di zoom succede quanto segue:
    ◼
  • il grafico diventa rettilineo all’occhio, e oltre a un certo livello di zoom non si notano cambiamenti;
    • ◼
  • se andiamo a guardare le pendenze, scopriamo che il grafico non è mai esattamente rettilineo;
    • ◼
  • però, se guardiamo i valori numerici, l’escursione delle pendenze continua a stringersi;
    • ◼
  • allo stringersi della semiampiezza di zoom le pendenze si stringono in un “imbuto” che sembra puntare verso un valore limite.
    • Muovendo i cursori possiamo cambiare queste cose:
    ◼
  • pendenza del segmento.
    • Due cose però rimangono fisse immobili:
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    Proviamo in un punto qualsiasi

    Morale:all’aumentare del livello di zoom succede quanto segue:
    ◼
  • il grafico diventa rettilineo all’occhio, e oltre a un certo livello di zoom non si notano cambiamenti;
    • ◼
  • se andiamo a guardare le pendenze, scopriamo che il grafico non è mai esattamente rettilineo;
    • ◼
  • però se guardiamo i valori numerici l’escursione delle pendenze continua a stringersi;
    • ◼
  • allo stringersi della semiampiezza di zoom le pendenze si stringono in un “imbuto” che sembra puntare verso un valore limite.
    • La pendenza limite non cambia quando modifichiamo
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    Proviamo col grafico del seno

    Morale:all’aumentare del livello di zoom succede quanto segue:
    ◼
  • il grafico diventa rettilineo all’occhio, e oltre a un certo livello di zoom non si notano cambiamenti;
    • ◼
  • se andiamo a guardare le pendenze, scopriamo che il grafico non è mai esattamente rettilineo;
    • ◼
  • però, se guardiamo i valori numerici, l’escursione delle pendenze continua a stringersi;
    • ◼
  • allo stringersi della semiampiezza di zoom, le pendenze si stringono in un “imbuto”, o “cuneo”, che sembra puntare verso un valore limite.
    • Il pannello che segue è lo stesso del precedente, eccetto che la pendenza limite è messa in evidenza:
    La pendenza limite non cambia quando modifichiamo
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    Esercizi

    Una funzione generica

    Un punto “di flesso”

    Tracciare l’imbuto quando la funzione è il seno e il centro è l’origine e congetturare quanto vale la pendenza limite:
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    Quinta parte:
    dal numerico al simbolico
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    Pendenza limite

    Abbiamo parlato di pendenza limite in modo informale:
    Vogliamo ora rendere rigoroso il concetto. Al posto dei numeri scriveremo dei simboli.
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    La funzione

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    Il centro dello zoom

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    La semiampiezza di zoom

    Disegnamo una rettangolo di zoom attorno al punto prescelto:
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    Il secondo punto

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    La pendenza

    Nel nostro caso la pendenza prende la forma
    La pendenza del segmento è una quantità centrale nell’analisi matematica, e si chiama rapporto incrementale:
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    La pendenza limite

    Aggiungiamo la terza finestra grafica:
    Versione interattiva:
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    Il passaggio al limite

    Dobbiamo rendere formale lo schema intuitivo seguente:
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  • allo stringersi della semiampiezza di zoom, le pendenze si stringono in un “imbuto”, o “cuneo”, che sembra puntare verso un valore limite.
    • Il discorso di stringersi a imbuto si può riscrivere in termini di vicinanza:
    La nuova riscrittura è
    O ancora:
    Aggiungiamo i quantificatori nell’ordine giusto:
    Tutto in simboli:
    Variante in termini di valore assoluto:
    Massima concisione:
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    Esercizi

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    si legge “effe primo di x con zero”.
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    Quarta parte:
    Dalla “derivata di una funzione”
    alla “funzione derivata”
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    Zoomiamo in più punti

    Facciamo un salto di qualità intellettuale: zoomiamo in più punti contemporaneamente:
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    Grafico delle pendenze

    Il passo successivo è di creare un secondo grafico in cui ci segnamo i punti
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  • e le cui ordinate sono le pendenze degli zoom
    • Aumentiamo il numero di punti:
    Aumentiamo ancora:
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    La funzione derivata

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    La funzione derivata

    Ne viene fuori un nuovo grafico (in rosso), che è il grafico della funzione derivata.
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    La funzione derivata

    Dopo un pò di allenamento si potrà fare a meno della finestra di zoom, perché la si indovina guardando il grafico della funzione:
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    Esercizio

    L’esercizio consiste in questo:
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    Fine

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