First we solve for second equation:
sol=DSolve[d*ϕ2''[t]+e*Sin[ϕ2[t]]==0,ϕ2,t](*Twosolutions!*)
Out[]=
ϕ2Function{t},2JacobiAmplitude),,ϕ2Function{t},-2JacobiAmplitude+,
2e+d
(t+
1
2
2
d
4e
2e+d
1
t
2e+d
1
2
d
2e+d
1
2
2
d
4e
2e+d
1
EQ=a*ϕ1''[t]+b*(ϕ1''[t]+ϕ2''[t])+c*Sin[ϕ1[t]]==0/.sol//FullSimplify(*Substitutingtofirstequation*)
Out[]=
cSin[ϕ1[t]]+(a+b)[t],+cSin[ϕ1[t]]+(a+b)[t]0
′′
ϕ1
2beJacobiCN),JacobiSN),
2e+d
(t+
1
2
2
d
4e
2e+d
1
2e+d
(t+
1
2
2
d
4e
2e+d
1
d
2beJacobiCN),JacobiSN),
2e+d
(t+
1
2
2
d
4e
2e+d
1
2e+d
(t+
1
2
2
d
4e
2e+d
1
d
′′
ϕ1
In[]:=
Table[DSolve[EQ[[n]],ϕ1[t],t],{n,1,2}](*Can'tsolve*)
Out[]=
DSolvecSin[ϕ1[t]]+(a+b)[t],ϕ1[t],t,DSolve+cSin[ϕ1[t]]+(a+b)[t]0,ϕ1[t],t
′′
ϕ1
2beJacobiCN),JacobiSN),
2e+d
(t+
1
2
2
d
4e
2e+d
1
2e+d
(t+
1
2
2
d
4e
2e+d
1
d
2beJacobiCN),JacobiSN),
2e+d
(t+
1
2
2
d
4e
2e+d
1
2e+d
(t+
1
2
2
d
4e
2e+d
1
d
′′
ϕ1
(*AGeneralSeriessolution(successiveapproximations)using:AsymptoticDSolveValue*)
We have 2 series solution:
AsymptoticDSolveValue[EQ[[1]]/.C[1]->C[3]/.C[2]->C[4],ϕ1[t],{t,0,3}](*Seriessolutionoforder3forannon-linearODEaroundt=0*)
Out[]=
1
2
3
t
2
1
be,-+
2e+d
JacobiDN
3
2e+d
3
4
2
d
4e
2e+d
3
2
JacobiCN,
2e+d
3
4
2
d
4e
2e+d
3
2
JacobiSN,
2e+d
3
4
2
d
4e
2e+d
3
3/2
d
6(a+b)
2
t
2e+d
3
4
2
d
4e
2e+d
3
2e+d
3
4
2
d
4e
2e+d
3
1
2(a+b)d
AsymptoticDSolveValue[EQ[[2]]/.C[1]->C[3]/.C[2]->C[4],ϕ1[t],{t,0,3}](*Seriessolutionoforder3forannon-linearODEaroundt=0*)
Out[]=
1
2
3
t
2
1
be,-
2e+d
JacobiDN
3
2e+d
3
4
2
d
4e
2e+d
3
2
JacobiCN,
2e+d
3
4
2
d
4e
2e+d
3
2
JacobiSN,
2e+d
3
4
2
d
4e
2e+d
3
3/2
d
6(a+b)
2
t
2e+d
3
4
2
d
4e
2e+d
3
2e+d
3
4
2
d
4e
2e+d
3
1
2(a+b)d