Wolfram 数学函数 | 应用示例

在代码中点击并按下
+
，即可编辑并运行任何代码。
定义、计算和可视化。 提供大量数学函数的符号和数值求值、可视化和渐近展开，文档详尽，并与 Wolfram 语言的各个领域紧密集成。

初等函数

分解多项式：
Run
In[]:=
Factor[
15
x
-1]
计算多项式的格罗布纳基：
Run
In[]:=
GroebnerBasis[{
2
x
-2
2
y
,xy-3},{x,y}]
验证函数间的恒等式：
Run
In[]:=
Simplify[Sin[x+y]==Sin[x]Cos[y]+Cos[x]Sin[y]]
计算级数展开式：
Run
In[]:=
Series[ArcTan[x],{x,0,10}]
求解可用初等函数表达的简单增长模型：
Run
In[]:=
DSolveValue[{x'[t]-rx[t]==0,x[3]==10},x[t],t]
交互式探索增长参数的影响：
Run
In[]:=
Manipulate[Plot[10
-3r+rt

,{t,0,3},PlotRange->{0,10}],{r,1,5}]

特殊函数

计算超几何函数的导数：
Run
In[]:=
D[Hypergeometric2F1[a,b,c,z],{z,n}]
计算特殊函数的围道积分：
Run
In[]:=
ContourIntegrate[Hypergeometric2F1[2,3,4,z],z∈Circle[{0,0},2]]
可视化椭圆函数：
Run
In[]:=
ComplexPlot3D[JacobiSN[z,1/2],{z,-4-4I,4+4I},PlotLegends->Automatic]
比较贝塞尔函数的行为：
Run
In[]:=
ReImPlot[{BesselJ[0,x],BesselY[0,x],AiryAi[x]},{x,-5,5},PlotLegends->"ReImExpressions"]

分段函数和广义函数

定义分段函数并将其用作计算的一部分：
Run
In[]:=
[x_]:=Piecewise[{{-x+1,x<0},{x,0<x<1},{3x^2-2,True}}]​​ℊ[x_]:=
x
∫
0
[t]t​​Plot[{[x],ℊ[x]},{x,-2,2},PlotLegends->"Expressions"]​​
用广义函数表示 Klein–Gordon 算子（
∂
tt
-
2
∇

x
+m
）的基本解：
Run
In[]:=
[t_,x_List]:=1/(2π)HeavisideTheta[t]DiracDelta[t^2-x.x]-m/(4π)HeavisideTheta[t-Sqrt[x.x]]BesselJ[1,mSqrt[t^2-x.x]]/Sqrt[t^2-x.x]​​[t,{x,0,0}]//TraditionalForm
绘制该函数，它仅在
2
t
>

x
·

x
时非零：
Run
DensityPlot-[t,{x,0,0}]/.m->1,{x,-3,3.02},{t,-3,3.01},Exclusions{{
2
t

2
x
,t≥0}},FrameLabel(Style[TraditionalForm[#1],16]&)/@{x,t},


整数函数

比较每个整数的平均除数个数与其渐近值：
Run
In[]:=
Show​​ListPlotTable
1
n
n
∑
i=1
DivisorSigma[0,i],{n,100},​​Plot[Log[n]+2EulerGamma-1,{n,1,100},PlotStyle->ColorData[97,2]]​​
绘制小于或等于
x
的素数个数，并与估计
π(x)
的函数进行比较：
Run
In[]:=
Plot[{PrimePi[x],x/Log[x],LogIntegral[x],RiemannR[x]},{x,1.5,100},PlotLabels->"Expressions"]

计算函数性质

求函数的周期：
Run
In[]:=
FunctionPeriod[Sin[ωx],x]
测试单射性：
Run
In[]:=
FunctionInjective[
3
x
+ax+b,x]
测试满射性：
Run
In[]:=
FunctionSurjective[
3
x
+ax+b,x]
测试双射性：
Run
In[]:=
FunctionBijective[
3
x
+ax+b,x]
求函数的极点：
Run
In[]:=
FunctionPoles[Gamma[z],z]
测试解析性：
Run
In[]:=
FunctionAnalytic[Gamma[z],z,Complexes]
测试函数是否为亚纯函数：
Run
In[]:=
FunctionMeromorphic[Gamma[z],z]

计算精确的符号结果

计算有理函数的积分：
Run
In[]:=
1
∫
-1
2
4
x
+1
-
2
x
x
计算函数的傅立叶变换：
Run
In[]:=
FourierTransform[
-Abs[t]

,t,ω]
计算多元有理函数的梅林变换：
Run
In[]:=
MellinTransform
1
x+y^2+1
,{x,y},{s,t}
精确求解微分方程：
Run
In[]:=
DSolveValue[{x''[t]+Sin[x[t]]==0,x[0]==1,x'[0]==0},x[t],t]

计算数值结果

以指定的数值精度计算函数值：
Run
In[]:=
N[JacobiSN[1,1/3],50]
以数值方式计算积分：
Run
In[]:=
Γintegral[z_?NumberQ]:=NIntegrate[t^(z-1)Exp[-t],{t,0,∞}]​​{Γintegral[2+3],N[Gamma[2+3]]}//Column
在表达式中包含不确定性：
Run
In[]:=
ArcCos[Around[u,.1]+IAround[v,.1]]
可视化具有不确定性的函数：
Run
In[]:=
ListLinePlot[Table[{x,Sin[Around[x,1/4]]},{x,0,2Pi,.1}],IntervalMarkers->"Bands"]

计算渐近关系

计算
n!
的渐近近似：
Run
In[]:=
DiscreteAsymptotic[n!,n->∞]
检验近似式和原表达式是否等价：
Run