Wolfram 數學函數 | 值得嘗試的事情

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定義，計算和視覺化。匯集大量數學函數的符號和數值計算、視覺化和漸近展開—廣泛地被記載並與 Wolfram 語言的所有領域緊密整合。

初等函數

因式分解多項式：
執行
In[]:=
Factor[
15
x
-1]
計算多項式的 Gröbner 基底：
執行
In[]:=
GroebnerBasis[{
2
x
-2
2
y
,xy-3},{x,y}]
驗證函數之間的恒等式：
執行
In[]:=
Simplify[Sin[x+y]==Sin[x]Cos[y]+Cos[x]Sin[y]]
計算級數展開：
執行
In[]:=
Series[ArcTan[x],{x,0,10}]
求解一個簡單的成長模型，其解可以表示為初等函數：
執行
In[]:=
DSolveValue[{x'[t]-rx[t]==0,x[3]==10},x[t],t]
互動式探索成長參數的影響：
執行
In[]:=
Manipulate[Plot[10
-3r+rt

,{t,0,3},PlotRange->{0,10}],{r,1,5}]

特別函數

計算超幾何函數的導數：
執行
In[]:=
D[Hypergeometric2F1[a,b,c,z],{z,n}]
計算特殊函數的周線積分：
執行
In[]:=
ContourIntegrate[Hypergeometric2F1[2,3,4,z],z∈Circle[{0,0},2]]
視覺化橢圓函數：
執行
In[]:=
ComplexPlot3D[JacobiSN[z,1/2],{z,-4-4I,4+4I},PlotLegends->Automatic]
比較貝索函數的行為：
執行
In[]:=
ReImPlot[{BesselJ[0,x],BesselY[0,x],AiryAi[x]},{x,-5,5},PlotLegends->"ReImExpressions"]

分段函數和廣義函數

定義並使用分段函數作為計算的一部分：
執行
In[]:=
[x_]:=Piecewise[{{-x+1,x<0},{x,0<x<1},{3x^2-2,True}}]​​ℊ[x_]:=
x
∫
0
[t]t​​Plot[{[x],ℊ[x]},{x,-2,2},PlotLegends->"Expressions"]​​
用廣義函數來表示克萊恩-戈登算子 (
∂
tt
-
2
∇

x
+m
) 的基本解：
執行
In[]:=
[t_,x_List]:=1/(2π)HeavisideTheta[t]DiracDelta[t^2-x.x]-m/(4π)HeavisideTheta[t-Sqrt[x.x]]BesselJ[1,mSqrt[t^2-x.x]]/Sqrt[t^2-x.x]​​[t,{x,0,0}]//TraditionalForm
繪製函數，該函數僅對
2
t
>

x
·

x
不為零：
執行
DensityPlot-[t,{x,0,0}]/.m->1,{x,-3,3.02},{t,-3,3.01},Exclusions{{
2
t

2
x
,t≥0}},FrameLabel(Style[TraditionalForm[#1],16]&)/@{x,t},


整數函數

比較每個整數的平均除數與其漸進值：
執行
In[]:=
Show​​ListPlotTable
1
n
n
∑
i=1
DivisorSigma[0,i],{n,100},​​Plot[Log[n]+2EulerGamma-1,{n,1,100},PlotStyle->ColorData[97,2]]​​
繪製小於或等於
x
的質數數目並與估計的
π(x)
函數進行比較：
執行
In[]:=
Plot[{PrimePi[x],x/Log[x],LogIntegral[x],RiemannR[x]},{x,1.5,100},PlotLabels->"Expressions"]

計算函數屬性

求函數的週期：
執行
In[]:=
FunctionPeriod[Sin[ωx],x]
單射性測試：
執行
In[]:=
FunctionInjective[
3
x
+ax+b,x]
滿射性測試：
執行
In[]:=
FunctionSurjective[
3
x
+ax+b,x]
雙射性測試：
執行
In[]:=
FunctionBijective[
3
x
+ax+b,x]
求函數的極點：
執行
In[]:=
FunctionPoles[Gamma[z],z]
解析性測試：
執行
In[]:=
FunctionAnalytic[Gamma[z],z,Complexes]
測試函數是否是亞純的：
執行
In[]:=
FunctionMeromorphic[Gamma[z],z]

計算精確符號結果

計算有理函數的積分：
執行
In[]:=
1
∫
-1
2
4
x
+1
-
2
x
x
計算函數的傅立葉變換：
執行
In[]:=
FourierTransform[
-Abs[t]

,t,ω]
計算多元有理函數的梅林變換：
執行
In[]:=
MellinTransform
1
x+y^2+1
,{x,y},{s,t}
精確求解微分方程：
執行
In[]:=
DSolveValue[{x''[t]+Sin[x[t]]==0,x[0]==1,x'[0]==0},x[t],t]

計算數值結果

以指定的數值精確度求值函數：
執行
In[]:=
N[JacobiSN[1,1/3],50]
以數值方式計算積分：
執行
In[]:=
Γintegral[z_?NumberQ]:=NIntegrate[t^(z-1)Exp[-t],{t,0,∞}]​​{Γintegral[2+3],N[Gamma[2+3]]}//Column
在表達式中包含不確定性：
執行
In[]:=
ArcCos[Around[u,.1]+IAround[v,.1]]
視覺化具有不確定性的函數：
執行
In[]:=
ListLinePlot[Table[{x,Sin[Around[x,1/4]]},{x,0,2Pi,.1}],IntervalMarkers->"Bands"]

計算漸近關係

計算
n!
的漸近逼近：
執行
In[]:=
DiscreteAsymptotic[n!,n->∞]
檢查近似值和表達式是否等價：
執行