Wolfram 几何计算 | 应用示例

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几何建模与计算。Wolfram 几何为建模、分析、可视化和合成提供了一套全面的集成工具和解决方案，可满足从初学者到高级用户的各种需求。

生成和使用网格区域

使用内置功能创建 3D 网格：
Run
mesh=MengerMesh[2,3]
计算网格的区域测量值：
Run
SurfaceArea[mesh]
再计算一个：
Run
Volume[mesh]
将网格作为数值计算的域：
Run
Integrate[yz,{x,y,z}∈mesh]
根据点计算网格：
Run
SeedRandom[1324];​​points=RandomReal[{-1,1},{20,2}];​​{VoronoiMesh[points,Epilog{Red,Point[points]}],DelaunayMesh[points,Epilog{Red,Point[points]}]}

计算几何区域的属性

导入一个区域（此计算可能需要较长时间）：
Run
In[]:=
physicalregion=ResourceData["Stanford Dragon"]
计算该区域绕其质心的转动惯量（假设密度为 1）：
Run
In[]:=
ℐ=MomentOfInertia[physicalregion];
计算该区域的形心、主轴与主转动惯量：
Run
In[]:=
center=RegionCentroid[physicalregion];​​principalAxes=Eigenvectors[ℐ];​​principalMoments=Eigenvalues[ℐ];
根据特征值缩放主轴，可视化该区域与主轴：
Run
In[]:=
Show[physicalregion,Graphics3D[MapThread[{#1,Arrowheads[{-0.05`,0.05`}],Arrow[Tube[{-#2,#2}#30.5`+Threaded[center]]]}&,{{Red,Blue,Green},principalAxes,Normalize[principalMoments]}]]]
Out[]=

在区域上求解

定义一组几何图元：
Run
In[]:=
primitives={Cuboid[{-3,-3,-.1},{3,3,.1}],Cylinder[{{-3,0,0},{3,0,0}},1],Cylinder[{{0,-3,0},{0,3,0}},1],Cylinder[{{0,0,-2},{0,0,2}},1]};
使用图元定义构造实体几何区域：
Run
In[]:=
csgregion=CSGRegion["Difference",{CSGRegion["Union",Most[primitives]],Last[primitives]}]
以多种方式表示几何区域：
Run
In[]:=
booleanregion=BooleanRegion[(#1||#2||#3)&&!#4&,primitives];​​RegionConvert[booleanregion,"Implicit"]
求解微分方程以模拟该区域上的温度变化：
Run
In[]:=
sol=NDSolve​​
∂
t
u[x,y,z,t]==3
2
∇
{x,y,z}
u[x,y,z,t],​​DirichletCondition[u[x,y,z,t]==1,{x==3,x==-3,y==3,y==-3}],​​DirichletCondition[u[x,y,z,t]==5,
2
x
+
2
y
==1],​​u[x,y,z,0]==3,​​u,{t,0,25},{x,y,z}∈booleanregion;
在特定时间点可视化解：
Run
In[]:=
SliceContourPlot3DEvaluate[u[x,y,z,25]/.sol],{"ZStackedPlanes",Range[-1,1,0.2]},​​{x,y,z}∈Cuboid[{-3,-3,-3},{3,3,3}],
options

对数值解进行动画演示（此计算可能需要较长时间）：
Run
In[]:=
ListAnimateTable​​RasterizeSliceContourPlot3DEvaluate[u[x,y,z,t]/.sol],"CenterPlanes",​​{x,-3,3},{y,-3,3},{z,-3,3},
options
,{t,0,5.,.1},​​ControlPlacement->Top

导入、修复、导出与打印 3D 模型

导入 3D 模型：
Run
In[]:=
model=ResourceData["Stanford Bunny"]
找出网格底部的缺陷：
Run
In[]:=
FindMeshDefects[model,ViewPoint->{0.3,-1.3,-1.5}]
修复缺陷：
Run
In[]:=
repairedmodel=RepairMesh[model,ViewPoint->{0.3,-1.3,-1.5}]
将模型导出到文件：
Run
In[]:=
Export["example.stl",repairedmodel]
将模型发送给 3D 打印服务：
Run
Printout3D[repairedmodel,"Sculpteo"]

探索综合几何

寻找由几何命题描述的场景随机实例：
Run
scene=RandomInstance[​​GeometricScene[{a,b,c,o},{Triangle[{a,b,c}],CircleThrough[{a,b,c},o],o==Midpoint[{a,c}]}]​​]
探索与场景已知命题相关的猜想：
Run
conjectures=FindGeometricConjectures[scene]
获取与指定场景相关的猜想列表：
Run
conjectures["Conclusions"]