Wolfram FEM | 应用示例

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有限元法 (FEM)。面向从入门到精通的各类用户，Wolfram FEM 通过提供多物理场偏微分方程建模、求解器和无缝后处理函数来模拟您的设计行为，并与高级几何和可视化功能完全集成。

流体动力学

建立一个纳维-斯托克斯方程，其中雷诺数为 ℛℯ，流体速度为
u
和
v
，压力为
p
：
Run
In[]:=
vars={{u[x,y],v[x,y],p[x,y]},{x,y}};​​pars=<|"ReynoldsNumber"->ℛℯ|>;
创建一个中间有孔的几何体：
Run
In[]:=
Ω=RegionDifference[Rectangle[],Disk[{1/2,1/2},1/5]];
定义一个偏微分方程和边界条件：
Run
In[]:=
pde=FluidFlowPDEComponent[vars,pars]=={0,0,0};​​bcs={DirichletCondition[{u[x,y]1,v[x,y]0},y1],DirichletCondition[{u[x,y]0,v[x,y]0},y<1],DirichletCondition[p[x,y]0,x0&&y0]};
创建依赖于参数 ℛℯ 的纳维-斯托克斯求解器：
Run
In[]:=
navierStokesSolver=ParametricNDSolveValue[{pde,bcs},{u[x,y],v[x,y],p[x,y]},{x,y}∈Ω,ℛℯ,Method{"FiniteElement","InterpolationOrder"{u2,v2,p1}}];
求解雷诺数 ℛℯ=100 时的纳维-斯托克斯方程：
Run
In[]:=
{xVelocity,yVelocity,pressure}=navierStokesSolver[100];
绘制流体速度的流线图：
Run
In[]:=
StreamPlot[{xVelocity,yVelocity},{x,y}∈Ω]

扩展练习

◼
  • 使用雷诺数 ℛℯ 等于1000（此方法在约5000以下应收敛良好）。
    • ◼
  • 通过移动求解区域中的孔来改变几何形状。
    • ◼
  • 添加第二个参数以改变顶部边界条件处的流速。

    • 进阶学习

    探索流体动力学应用模型和专著，或参阅 FluidFlowPDEComponent 参考页面。

    耦合传热与质量传输

    多物理场模型将同一物理系统的不同方面组合成一个耦合模型。例如，与温度和浓度相关的化学反应：
    heattransfermodel
    ︷
    ∂T(t,x)
    ∂t
    +∇·(-k∇T(t,x))-Q
    =
    0
    masstransportmodel
    ︷
    ∂c(t,x)
    ∂t
    +∇·(-d∇c(t,x))-R
    =
    0
    在区间
    x∈[0,1]
    求解耦合热传递和质量传输模型。
    设置热传递质量传输模型变量，包括温度
    T
    、浓度
    c
    和时间
    t
    ：
    Run
    In[]:=
    hvars={T[t,x],t,{x}};​​mvars={c[t,x],t,{x}};
    指定模型参数，包括热导率
    k
    、质量扩散系数
    d
    、热源
    Q
    和耦合温度与浓度的质源
    R
    ：
    Run
    In[]:=
    pars=<|"ThermalConductivity"0.01,"DiffusionCoefficient"0.01,"HeatSource"0.2*R,"MassSource"R,R->-10^-3*T[t,x]*c[t,x]|>;
    建立耦合偏微分方程和初始条件：
    Run
    In[]:=
    pdes={HeatTransferPDEComponent[hvars,pars]0,MassTransportPDEComponent[mvars,pars]0};​​ics={T[0,x]200+800x,c[0,x]800};
    求解模型：
    Run
    In[]:=
    {Tfun,cfun}=NDSolveValue[{pdes,ics},{T,c},{t,0,10},{x}∈Line[{{0},{1}}]];
    探索解随时间的演化：
    Run
    In[]:=
    ManipulatePlot{cfun[t,x],Tfun[t,x]},{x}∈Line[{{0},{1}}],
    ,{{t,1.3},0,10},
    

    扩展练习

    ◼
  • 修改初始条件或参数 R。
    • ◼
  • 在二维空间中建立、求解并可视化该问题。

    • 进阶学习

    探索热传递应用模型和专著、质量传输应用模型和专著，或参阅 HeatTransferPDEComponent 或 MassTransportPDEComponent 参考页面。

    量子力学

    设置带有谐振势的一维时间依赖问题：
    Run
    In[]:=
    vars={Ψ[t,x],t,{x}};​​pars=<|"ReducedPlanckConstant"->1,"SchrodingerPotential"->
    2
    x
    2
    |>;
    定义偏微分方程，以相干态作为初始条件：
    Run
    In[]:=
    pde=SchrodingerPDEComponent[vars,pars]==0;​​ic=Ψ[0,x]==
    1
    4
    1
    π
    -
    2
    (x-1)
    2
    
    ;
    求解生成的模型：
    Run
    In[]:=
    solution=NDSolveValue[{pde,ic},Ψ,{t,0,20},{x,-4,4}]
    可视化在经典转折点之间振荡的相干态：
    Run
    In[]:=
    AnimatePlot
    2
    Norm[solution[t,x]]
    ,
    2
    x
    2
    ,{x,-4,4},
    ,{t,0,20},
    

    扩展练习

    ◼
  • 改变势能和初始态以研究散射问题。
    • ◼
  • 计算时间无关哈密顿算符的特征函数。
    • ◼
  • 在二维或三维空间对量子系统建模。

    • 进阶学习

    探索物理应用模型和专著，或参阅 SchrodingerPDEComponent 参考页面。