Encuentro no. 6
Calculo integral

Profesor: Diego Ramos

Promedio de una función

Introducción

Suponga que usted tiene una lista de
n
valores y usted quiere hallar su valor promedio:
In[]:=
list={1,3,4,3,5,7,10,2,11,13};
El promedio es:
In[]:=
(1+3+4+3+5+7+10+2+11+13)/10
Out[]=
59
10
Ahora, en lugar de una lista de valores, supongamos que tienes una función. Aquí tienes un ejemplo de función con su gráfica:
In[]:=
f[x_]:=x^2Sin[x]+x;​​Plot[f[x],{x,0,5}]
Out[]=
¿Cómo se encuentra el “valor promedio” de esta función en el rango [0,5]?

Intuición

Para empezar, considere la función
f(x)
como si fuera una función que va de
a
a
b
.
Para aproximar el promedio, divida la región en n subintervalos, tome un punto de muestra de cada subintervalo y calcule el promedio a partir de los valores de la función de los puntos de muestra.
Cada subintervalo tiene longitud
b-a
n
, que se denota por
Δx
. El punto de muestra en el
i
-ésimo sub intervalo será
*
x
i
.
Así el promedio será​
Así, dejando
tender a
, podemos ver que se obtiene

Ejemplo.

Encuentre el promedio de la función
en el intervalo
.
Out[]=

Solución

Temperatura

Aquí hay una función que da la temperatura de una determinada ciudad t horas después del mediodía:
Aquí está su gráfico desde la 1pm hasta las 3am del día siguiente:
Encuentre la temperatura promedio de sobre el periodo de tiempo de la 1 pm a las 3 am del siguiente día. Diga a qué horas la temperatura en la ciudad es igual al promedio.

Carro en autopista

Un automóvil que circula por la autopista tiene la siguiente función de velocidad después de t minutos:
Encuentre la velocidad promedio del carro en el periodo de tiempo de 15 a 60 minutos. En qué instante la velocidad del velocidad del carro es igual a la velocidad promedio.