In[]:=
FullSimplify[DSolve[{D[u[x,t],t]+t^2D[u[x,t],x]==u[x,t],u[x,0]Exp[2x]},u,{x,t}]]
Out[]=
uFunction{x,t},,uFunction{x,t},,uFunction{x,t},
-++2x
2
3
t
3
1/3
3
t
--+2x
2
3
t
3
1/3
(-1)
1/3
3
t
-++2x
2
3
t
3
2/3
(-1)
1/3
3
t