In[]:=
N[NSum[(-1)^n(n^(1/n)-1),{n,1,Infinity},Method"AlternatingSigns",WorkingPrecision40],26]
Out[]=
0.18785964246206712024851793
In[]:=
N[NSum[
1/(2k)
(2k)
-
1/(2k-1)
(2k-1)
,{k,∞},WorkingPrecision40],26]
Out[]=
0.18785964246206712024851793
CMRB=
∞
∑
n=1
n
(-1)
(
1/n
n
-1)​​=
∞
∑
k
1
2k
(2k)
-
1
2k-1
(2k-1)
.
CMRB=
∞
∫
1
Re
1/t
t
-1
sin(πt)
t=
1
∫
∞
Im(
1/t
t
-1)
sin(πt)
t​​=Im
∞
∫
1
1-
1/t
t
sin(πt)
t​​=Re
∞
∫
1
1/t
t
-1
Im(sin(πt))
t​​=Re
∞
∫
1
2
1/t
t
-2
-πt

-
πt

t​​=Im
∞
∫
1
1
2

1
2-t
(2-t)
-
1
t
t

sin(πt)
t​​=Im
∞
∫
1
1
2-t
(2-t)
sin(πt)
t=
(-∞)
∫
1
Im(
1/t
t
-1)
sin(πt)
t.

∞
∫
1
Re
1/t
t
-1
sin(πt)
t
In[]:=
I(NIntegrate[Re[(t^(1/t)-1)/Sin[Pit]],{t,1,InfinityI},WorkingPrecision30])
Out[]=
0.187859642462067120248517934054
1
∫
∞
Im(
1/t
t
-1)
sin(πt)
t
In[]:=
(NIntegrate[Im[t^(1/t)-1]/Sin[Pit],{t,InfinityI,1},WorkingPrecision30])
Out[]=
0.187859642462067120248517934054
Im
∞
∫
1
1-
1/t
t
sin(-πt)
t
In[]:=
Im[NIntegrate[(1-t^(1/t))/Sin[Pit],{t,1,InfinityI},WorkingPrecision30]]
Out[]=
0.187859642462067120248517934054
Re
∞
∫
1
1/t
t
-1
Im(sin(πt))
t
In[]:=
Re[NIntegrate[(t^(1/t)-1)/Im[Sin[Pit]],{t,1,InfinityI},WorkingPrecision30]]
Out[]=
0.187859642462067120248517934054
Re
∞
∫
1
2
1/t
t
-2
-πt

-
πt

t
In[]:=
Re[NIntegrate[(2t^(1/t)-2)/(Exp[Pit/I]-Exp[-Pit/I]),{t,1,InfinityI},WorkingPrecision100]]
Out[]=
0.1878596424620671202485179340542732300559030949001387861720046840894772315646602137032966544331074969
g(x)=
1/x
x
,CMRB=Im
∞
∫
1
1
2

1
2-t
(2-t)
-
1
t
t

sin(πt)
t
In[]:=
g[x_]=
1/x
x
;ImNIntegrate
1
2-t
(2-t)
-
1
t
t
(2Sin[Pit]),{t,1,InfinityI},WorkingPrecision100
Out[]=
0.1878596424620671202485179340542732300559030949001387861720046840894772315646602137032966544331074969
Im
∞
∫
1
1
2-t
(2-t)
sin(πt)
t
In[]:=
ImNIntegrate
1
2-t
(2-t)
(Sin[Pit]),{t,1,InfinityI},WorkingPrecision100
Out[]=
0.18785964246206712024851793405909820913584012517661900543071050505384316610363914136436417271053114
Im
(-∞)
∫
1
1/t
t
-1
sin(πt)
t
In[]:=
Im[NIntegrate[(t^(1/t)-1)/(Sin[Pit]),{t,1,-InfinityI},WorkingPrecision100]]
Out[]=
0.1878596424620671202485179340542732300559030949001387861720046840894772315646602137032966544331074969
(-∞)
∫
1
Im(
1/t
t
-1)
sin(πt)
t
In[]:=
NIntegrate[Im[t^(1/t)-1]/(Sin[Pit]),{t,1,-InfinityI},WorkingPrecision100]
Out[]=
0.1878596424620671202485179340542732300559030949001387861720046840894772315646602137032966544331074969
∞
∫
1
(
1/t
t
-1)exp(πt)t=
∞
∫
1
(
1/t
t
-1)exp(πt)t=
∞
∫
1
1/t
t
-1
cos(πt)-sin(πt)
t=
(-∞)
∫
1
1/t
t
-1
cos(πt)+sin(πt)
t
∞
∫
1
(
1/t
t
-1)exp(πt)t
In[]:=
NIntegrate[Exp[PiIt](t^(1/t)-1),{t,1,Infinity}]
Out[]=
0.070776-0.0473806
∞
∫
1
(
1/t
t
-1)exp(πt)t
In[]:=
NIntegrate[Exp[PiIt](t^(1/t)-1),{t,1,InfinityI}]
Out[]=
0.070776-0.0473806
∞
∫
1
1/t
t
-1
cos(πt)-sin(πt)
t
Integrate[(t^(1/t)-1)/(-ISin[Pit]+Cos[Pit]),{t,1,InfinityI}]
In[]:=
NIntegrate[(t^(1/t)-1)/(-ISin[Pit]+Cos[Pit]),{t,1,InfinityI},WorkingPrecision100]
Out[]=
0.07077603931152880353952802183028200136575469620336302758317278816361845726438203658083188126617723821-0.04738061707035078610720940650260367857315289969317363933196100090256586758807049779050462314770913485
(-∞)
∫
1
1/t
t
-1
cos(πt)+sin(πt)
t
In[]:=
c=NIntegrate[(t^(1/t)-1)/(ISin[Pit]+Cos[Pit]),{t,1,-InfinityI},WorkingPrecision100]
Out[]=
0.07077603931152880353952802183028200136575469620336302758317278816361845726438203658083188126617723821+0.04738061707035078610720940650260367857315289969317363933196100090256586758807049779050462314770913485