In[]:=
(*EulerscheKnicklastP2×491​​https://www.wolfram.com/language/11/differential-eigensystems/index.html.de?footer=lang*)
In[]:=
(*FaxialeDruckkraftaufdenStab​​EElastizitätsmodul​​IIFlächenmomentdesStabquerschnitts​​E*IIBiegesteifigkeit​​lLängedesStabes​​xOrt​​y(x)AuslenkungdesStabesausungenickterLageanOrtx​​0≤x≤l*)​​Clear[{C1,C2,C3,C4,μ}]​​y''''+
F
EII
y''==0
Out[]=
F
′′
y
II
+
(4)
y
0
In[]:=
(*Substitution
2
μ
=
F
E*I
(0≤x≤l,μ>0)*)​​Clear[{C1,C2,C3,C4,μ}]​​y''''+
2
μ
y''==0
Out[]=
(4)
y
+
2
μ
′′
y
0
In[]:=
(*LösunglautLehrbuchy=C1+C2*x+C3*Sin[μ*x]+C4*Cos[μ*x])​​zudenRandbedingungenuntenistC1==C2==C4==0​​nichttrivialeLösungexistiertdannnurwennC3≠0​​C3*Sin[μ*l]==0​​Sin[μ*l]==0​​μn==
nπ
l
n==(1,2,3...)​​führt(unterBeachtungderRandbedingungen)zuderallg.Lösung​​yn==yn[x]==C3*Sin
nπ
l
*x(0≤x≤l)*)​​Clear[{C1,C2,C3,C4,μ}]​​DSolve[
(4)
yy
[x]+
2
μ
′′
yy
[x]0,yy[x],x]
Out[]=
yy(x)-
c
1
cos(μx)
2
μ
-
c
2
sin(μx)
2
μ
+
c
4
x+
c
3

In[]:=
(*SubstitutionderIntegrationskonstanten*)​​-
c
1
cos(μx)
2
μ
-
c
2
sin(μx)
2
μ
+
c
4
x+
c
3
/.{
c
3
->
c
1
,
c
4
->
c
2
,
c
2
->
c
3
,
c
1
->
c
4
}
Out[]=
-
c
4
cos(μx)
2
μ
-
c
3
sin(μx)
2
μ
+
c
2
x+
c
1
In[]:=
(*LösungunterBeachtungderRandbedingungen​​y[0]==y[l]==0:keineDurchbiegungandenEndpunkten​​y''[0]==y''[0]==0:keineBiegemomenteandenEndpunkten​​TODOliefertnurdietrivialeLösungy[x]===0*)​​Clear[{C1,C2,C3,C4,μ}]​​DSolve[
(4)
yy
[x]+
2
μ
′′
yy
[x]0,​​yy[0]==0,yy[l]==0,​​yy''[0]==0,yy''[l]==0,​​yy[x],x]
Out[]=
{{yy(x)0}}
In[]:=
(*allg.LösungsfunktionderDGLlautLehrbuch*)​​Clear[{C1,C2,C3,C4,μ}]​​yy[x_]:=C1+C2*x+C3*Sin[μ*x]+C4*Cos[μ*x]​​(*unterBerücksichtigungderRandbedingungenentstehendiefolgendenvierGleichungen*)
In[]:=
yy[0]==0
Out[]=
C1+C40
In[]:=
yy[l]==0
Out[]=
C1+C2l+C3sin(lμ)+C4cos(lμ)0
In[]:=
yy''[0]==0
Out[]=
-C4
2
μ
0
In[]:=
yy''[l]==0
Out[]=
-C3
2
μ
sin(lμ)-C4
2
μ
cos(lμ)0
In[]:=
(*TODOliefertwieDSolvemitRandbedingungenauchnurdietrivialeLösungy[0]==0daauchC3==0geliefertwird*)​​Clear[{C1,C2,C3,C4,μ}]​​Solve[C1+C4==0&&C1+C2l+C3Sin[lμ]+C4Cos[lμ]==0​​-C4
2
μ
==0&&-C3
2
μ
Sin[lμ]-C4
2
μ
Cos[lμ]==0,{C1,C2,C3,C4}]
Out[]=
{{C10,C20,C30,C40}}
In[]:=
(*LösungdereinzigenverbliebenenBestimmungsgleichungfürRandbedingungenlautLehrbuch*)​​Clear[{C1,C2,C3,C4,μ}]​​Solve[C3Sin[μl]==0&&C3≠0,μ]​​(*führtimLehrbuchzuμn==
nπ
l
(n=1,2,3,...)unddamitzudenEigenlösungen​​yn==yn[x]==C3*Sin
nπ
l
x(0≤x≤l)
Out[]=
μ
2π
c
1
l
if
c
1
∈
,μ
2π
c
1
+π
l
if
c
1
∈

In[]:=
C3=1​​l=π(*LängegleichT/2*)​​PlotEvaluateTableC3*Sin
nπ
l
x,{n,1,3},{x,0,π},PlotLegends->"Expressions"
Out[]=
1
Out[]=
π
Out[]=
sin(x)
sin(2x)
sin(3x)