In[]:=
f=1/2-x/(3+x^2+2y^2)-z/(3+2x^2+z^2)-y/(3+y^2+2z^2)/.{x1+x,y1+y,z1+z}//Factor//Numerator
Out[]=
20+8+8+16xy+4y-8y+20+44x+28+4+2+8+16x+8+8+8x+4+16xz+44z+16z+8z+16yz+48xyz+28yz+4z+28xz+16z-8z+20+4x+28+8+4+44y+28xy+16y+28+16x+9+4+2+8-8x+4+16y+8+8+2+8y+4
2
x
3
x
4
x
2
x
3
x
2
y
2
y
2
x
2
y
3
x
2
y
4
x
2
y
3
y
3
y
2
x
3
y
4
y
4
y
2
x
4
y
2
x
3
x
4
x
2
x
2
y
2
y
2
x
2
y
3
y
2
z
2
z
2
x
2
z
3
x
2
z
4
x
2
z
2
z
2
z
2
x
2
z
2
y
2
z
2
y
2
z
2
x
2
y
2
z
3
y
2
z
4
y
2
z
3
z
3
z
2
x
3
z
3
z
2
y
3
z
4
z
2
x
4
z
4
z
2
y
4
z
In[]:=
PolynomialSumOfSquaresList[f,{x,y,z}]//EchoTiming
⌚
0.258358
Out[]=
In[]:=
Total[%^2//Factor]
Out[]=
14548398020692173596501237457010655326202835036171711494915167865274176861234217621326572042955271886635717400261690527731410423685605211950972271306447592086770357170130566635386031174966667933976150334439414314965348468234210818261839591033960332975393847
4
x
2
y
10929661130751830248199006606582722700275089954616807865043530066890138134283619966552798186826432717464515370090236662284611251192395949694560687877939307065836563862140092807495009024635993450103910353953223199622883899489245603729234556580003938990316500
2395017314336494046033556380764280808423534541327461934304745545426842783132020013898293742513154633659462519533774831943
4
x
2
(30217786439859292069233266931650610740070148121811688588837869208280255074760239284189987360440411828687683107110505624367145034979396800671664060997555788510191807419749054770284666992532780932618313188594003327127811258846625959018052976921y-302131814445746608714777217416888988501090619979258401946036015960751622270301360707455735996791225050896047850092605843150851119484282420736206651177574623484680275566727901731682975399272478590125304096080397626583963822641185493478161230470z)
157756973953471947173698860916536440539233628259201498778530098522469348207168145981241262270096465335708961619879588801132222135095141170166809497691235076345669578457344456467656460305984157211117376396822245283276327145253292597954767454988949388000657949221401146430263677656053409293614818142040476284209070261395089715053762618738666277732862979516630073404893257819375661823190648813369429424114504874440989853016181961354331109860770758559238152833635581809594305893859552663355460828359542278505357188191718548703207984777911069898300285804129686319107414745372895312286371742624028918652152521500
4
x
2
(17708666385433939732980088057905383120562578817660549279392584615182602212369632624473383741275610757224239264549207479920452543007202113464940265466883120124197872130507577076523063740440875983291109389028283006854617210211492155349956194544419197884479823629579893705978283812578487682697087956924289040103474423293090676770268891777238969+470528933860962127462968019417626444548211038128508621511894505868586592448991057843344847601565521482743821628230901225320986446811857720304871966836180874841750983808827316908335833166992553248289314435220545669201809274440407468734209384751021158160768423929257145579661407424660729838306418253052707882286274387165238373915663830756885y+10021409436023114435780648054205904814842024754541075767805043183458490886091420685089788620714503736284676897480034136354064348889303550227984402867640410057163399741550389302871505386658628494954258842195422998946679768053022980894742058590084958252149269884563722839149004877908284505092138576936985062662401040824725639354844287836223629z)
68836492129771547625550284771410598041294338869055933139520136560270756145302447108250626959085821628747069403346481600061291467895434649071781242747158766780784854422659150065292476435715796095368118816832793182495032859835491223662691989800023806025365965556660470968269158685995250502880074732944688471260755105321928016110159177621971246261186420349542023657966634380754305511472809601483607174968155917810117121817511736167560876440432627176105817494617774554380735426246646760693906639080542938430228100504473106454831267414320046214775420181800973390268480328372084808371405474142611908252311483949400818477990543714845688505817460134512430220657348099169996909088880659340
2
x
2
(-16165394303902668009325864429767632283635995241991204615249566917794712005188284576554090371869439267985349141412152978678334411570328795973162408396373208152385344117361015989748353227592010111898898842309872467415584348425491585449882155464696183984340314117135462588685117566081158797814986025653852513728570x+5865981494096717027813237405733592711965051404475166450704384225524726094573589971537762452992575607853953427085938377085233084440364528878215737660932821214028079420702358864863054489786865449715625303575406671766916291462874243185085881187599355071841995048674385376284411375474949994951217311009376068122311xy-33336184843557739063033861449146411754801762469640216862920015257687604127424354139215964340928187324825155216767389033036072381939634564901796327086849441785718923656649463553334146819779264378923724938170656971710147225799815812998483734566706171863203866476998643266898335930436446276146476876249728404107067-5359194883055993725233510996447534781543951654061525220215013407870538487523907302107794208134718890378210398509524413661995350999017498144887349162905388197862985969666831440599473402185167891904159454238859037012554173825978005543144780758297053658238576143654186546636687686274059269901688283061927266368873xz)
2
y
709061140491398248819937395161627273703877552418491137684456625931992833138417438072208501571664087910355773375843188244857163231440291600324215886592734732604228401984838738066613106210407344313200764864418786179823040000298712786193884797391096271370163828001233130022373266651091567155885574429274721058481791179418669685344883104401960137200514377652162827214709703172366530226055205539219723970835012396620681690831054540169136626813992165281537836433010457131108798154023136612846316766102972317683431700641921643457865864532466876372389521458245709216868063739314045373899255587499182179796512537751951058271753600
2
x
2
(26212764629783562576313740197529490908651272056485961040389241861749514243414266192228164298514469126242463902193377629044409845978217881044504899513955145583418994795815669038373422827251676209655686351355372462575736354559605564976225045550232646431290733987858471150803341050x+45997041858593478068550106224495801980375911605027924502308260694823084213268134308233431406197435514937442168793215675008783682801965246736489201181656537788903386855001585983206797111479370411159958357114879237519712216993307295055281343709516048058522699086175159182074350625xy+60126333422474394187795216404741234380734766757061386782892510028951921667448592185235761543947637002734597895396518662029085765249742709531373641150212526234980116527221794244219151898256272116313443141470445564337736763292635254210047095629398034715560067833900539850747373475+75941094257433958205377013605096681280699385409000573271663599466838523411491465857672664416871946985587380362758401734249527706612182349816408797565604152763112057785611630180106725262454763756140694049611259590648900163144079254639939148760786258182083974902805742842798933425xz-481376659586720070664143582349898747688940281206124682929858075956378039872289613808588007401359967105855933123682961172192740573697853742244176371672252312124438036418032021887758663322735460072787168205983315363475294591393795792507642689910156631801992117441201877210895759632yz)
2
y
35701091336323544587091888299848931159218447841505955473420570849230201608831436142000403011527338241863494162712219727547614971486519082346808585830756731271826219163919013700370298634495522942809608567165481636874200103825824292823174976563330955569133680780367020837263896612981228460200706564140440220229404834513655672165509326787219096341517523764447167281746962674572566600312964133343604195848509400667639902871603879499993983132380053651609403615335369151262072829438191684404987400841738976385790327121126393985501671670125460581155982250838800000
2
x
2
(-2970443612638316531272967578731444213334736932956109593129788099656786323701843313869129601993699209981342804435398504969979556622042035405537008820256061019091926203279337585076437629649923301367112491772201791255049704371450477435462345319500x+63877162404860998553907045735592029457995983807699675419640267903060678452901102480121358091396837437488318753236996725340375924290994033150964222694407291901033608355768755907215269662143290819588516613019592962153603265529116972322275755525422y+12104380256584567652293338445937333507321742910617042782364735118658610085865022909351350165421786262947039264054480842343827632461812649920110261768906830833426559299334215550167365110540554235511751172760418278271415264020619929808635638379345xy+967557151116494420939171736332270318085925519288188973989671562972510885102115251286194443884871195311402540672998056128303852397391062798232725130318220467828192453388806593309174556377176174690953580868821797176461862608002916659700482807665+1040846595787682242991371906423459912091099778615714002547968410590491034869592536811148654313951884304454098351514921367954030624640200466335084559748959200624385864510568315780485496966720587132201736323463246796093012764282711925752114921155xz+12566578430077388497173181566088171679823861361327584343122697683342648128161470444412812172803918807202799850119404347663742509974527900344365993685561439486277544150173089811827225512025799015595399557791388237013451148463585680026363129299792yz)
2
y
359697323626264479118926268269965817616314395179228795719803285756556279215979562658958140502594820219493362887272568780010259408340951365707596268182996303399244109358616404867746664378108711463944686362245663182682999643637945160029865061043833973901629697892387870703804285433024196429828460779128340448707339493421364801797883884628119747048352254856963751997452404028946389281148719888654479199509829770878759568616403730817630951625037245100313464575714382219956418237533814240450000
2
x
2
(81990541073054314186174457311494952615803953733553587978754527233176360084117348443054180694201825918572544702050372429368968424282418984308311962933797034694549689990508804378005719778287135818970730600x-69886824103488772168625553774839868602027547964155687483665201973997439315281971707177307250006467187487776925640487509474493346476610634359395914113632851792266152936128020065652519650562090062459224615y+12823185367070915220785683191092888563813489640563252347342382221008192783776846111299516918338307487206590541246231850813750220037248372367607947417983184827942295808753934483000740798154932826029209550xy+89044067113599024118684804504901555124608107977866418105764464765216345829906983710253161745344821679488171108784154966273775780679583514012470480328629060912960187579603798954556654090691239784033039638+97774887690037077357081930774810507211355630194065526236827067158721964978109981444385309012922799463172997403793800753076029722102043638515459573106994183128031608204792229682847216667511858932796142975xz+110281446347561407872440378760760703312402289246723087845139666650180571236220486792916275450878095411939306968853974917866174676046580146908711063306969469947933603752926917391710148924620055986055210849yz-425728401872342840575294364713050994763167535486214144406203033375116430573176053636198395812655912403138902802189184134985419676664370460725556065991642702247288767708293395049984852545801052107357301194)
2
y
2
z
118067487679206637562329063620359190702370737167985095047646284103585044043951019060432006257929680404073374864473821934395686370132282599116248733695759811233932897225065896443759819540090029158771836507343920573736670508220906699928559237814645545840120263398544291905939517947534353881120373216052946696281615100669911318434860748308818672759928923879675351535148089223934648205734954613814362759543050000
2
x
2
(-19859690858903310198586024828502444338475750042743205302363569250538062132356505524786940633934969472437217826417197913432060350-3873788919705875495742195918083981066230136590245059261064739707249112769722141153283799636778121747817412772783632135584364500x+6521147218293626801189840107586349236363622329417915382810459976959805742922927207913496719959068722395908414164050278553932994y+1090079846060209760801215590396450362598827929434258822452227041822496940815416680805274147282503720765408058188964000685054440xy+2670490120758467943453128388173432905266938068836938063997769478073425148190208814667856138159087360138917855213160366393973222-18350535326476762353490197431897841783004532173348677033939434657089611675458160554537257141403005428539134432495764477630409830z-3456769465248025283690757501228481640080967766333709218714398901805749419515366638699737565002048247551046793476537214150456175xz-2615346019683537874037062887599932626217899132298611839769036636713744064671976040968024068804837054926779485752904483874175296yz+58267077152564187584659425522437341431721209654075845564259165968661760774866737500242095533155394938153646953985227689849724)
2
y
2
z
32171976485700158616378205620826798121113911520350401918032863628607168293281768282390307949532024507630161502881500582300302464525152756000477203582919892151718846504627559867080129248028557675647773244508796045482963803609746542722229651899807243340000
2
x
2
(18495203191489035575530585474194171721425669496452467451254508954024999597702565761942050862208110037328059722108160432823146122991445832300368043973321500x+4382765912358699353987106978310004666791967527039299079610183004322955899719851905238387099994846197386319861906859045275304992695008760624588104163423347y+4294863195159543234359041323285493386648557012657420202238818848680966704386316328065450796073911211017993022626598225592715273805296433292961315940170820xy+2778749059692983059851524132223243737493562317430179182948699190776620691360276144204619748681232361418361833397371749877872983656923079133253092224150380+96820933313630231871388879101293527501208861816763595288427629827125693225179631735948093420426013926541339608266252278178583218800206710843205621841637740z+12969163065483671149768371475990671794752531413065630693293123181236932581634254802317378245207921448726140608839508428460834503723535969991529312367942355xz+19476896805782618892873635357516088324006005258496925109943932663820686589122255263818165213650288693452264007998154873483800460080842675612376103540053287yz+17287082736276527972059609494172399066484767899911129186696727083063871484166876651459367873169922803055642370723812720847276974686948808972311089565407930)
2
y
2
z
762166421155827601459293887672385268740076386018568468985846457489427557098023782025094150654331467399596511480836244856382495985241359415953584501239848582723179531372760647590049845177620562020686084601164383357602218679705835595568423758654260647880301879931266655831527227681847052986552156262156792550000
2
(25779119470802849093171851759127310714818385096072409399115110272757648893613500x-22194894343362773319372618285015515925061925802310505563069401627817211888427450+42454357530059866163354373463410029364435862306022332849431095071091042707852875xy+5086804152599587350040851732776386116433375354854880359535633140253649625852850y+109571770537077184923876479825218793730296613824643744179430199082237141863494150+56658475219457114267085053416531203357455104005459897071495739531793203490319112x+17776813576334545192486284020445049405689431922914020397449237990447415927532780xz-8313338134589838155027881453385143815021273126116343263110389334697157795147375z+16550498861328339926944486626600992475897018942244991294587247568267196545804993xyz+6394478129409591609089742710897153257058673034039225229384291492213005381734300z-7337518971911487068591960593293120263155979765145207776496940175124477246511656x)
2
x
2
x
2
y
2
y
2
x
2
y
2
z
2189968547004814937727071505361962365649536427695540771473518667973541278262661850852549067957379332674833063347540817266257630117359728224679678771163447950000
2
(133646861964203075806883227358972966670239977656460571280859848152882677552019882281485778691554416354150x+345169454539993619091777464101102558542578611999310781948426299912382531799531288663054837859858368550100-337194078363994876505340513188811986027386858432503543062309638246305527076517543477349404138972319010714xy+37536013581958840029779550341011765758692975280377844650368510146368742056007927521709368284375712664400y+25662331736492628403281698663211126555130120613182109956903430352256714028218494855243908289281963689554x+34051829272699345451861164480279724828372917042003831442505414647196903092113168244963539523982211086366xz+428398117843467350736988207747646260043393504908048551987009128940794288991852094869707992266115414632675z+363965884594929802712262911508601486029674955129157204433465995749325225263349506100215657446838798880632xyz-1280612336706104382589069465174395322267478435022564344891113382847709204914167270775935277653221820664120z+32056188268379590689083711833249728411632070504046301166878082595098852565064700527546198535395808841068x)
2
x
2
x
2
y
2
x
2
y
2
z
1064564723511142778298848924459382193696267474062213022320474847536881253902746347107213665386408939127853567382754815570379380367391922988595347840141044928701285260138768998596428482125728608052882709430740000
2
(-2796844467198027628119810546309165618323298170500181568879900x-95163032213294964597626617859799449680287570541492374001650-704829494186743816217071733091061529485555834612699394595975xy+1029872853503820983251121889022386379231644078459820981157690y-3959604931842414755800590090757139569735182160694427147807150-1735772184968359377096666030679193797409459661364047261136236x-4208151332221625013885026271368554440315000638008867905540096xz-227872604835987278792711021495497514010058921389779220811185z+1565944437031942130703512991893920270401250918105287776245131xyz+543113918452250214784091874087716040767609623852285001741220z-90607050692833609843660880896610524010208308261279544389292x-6574605619230550281703647392770916223827486987034694132815660y)
2
x
2
x
2
y
2
y
2
x
2
y
2
z
2
z
23781176437313717921804496306246374625355763514612551276002466680828086524265424719468723301875903929421090914934452010000
2
(108735424435261270519680103450x+80179057239746344969063025150-59665775146539167946080219050y-92586202543184290498076644125xy+9618878970327402590609081365y+46498817323386257275910960650+13447362340426028173781533990x+143642263484186079875802409100xz+9629761335362579430719488465z-64978611393573090925280554700yz+2337481550582980104090442501xyz-4082136308524813813206515660z-250133046270519099633474929400-3969376191232066137420547650x-122335185273684915970165037310y)
2
x
2
x
2
y
2
y
2
x
2
y
2
z
2
z
2
z
8689797338412451230302460913530533400283848246990970050000
2
(1678224139026991920x+695930248128256570+1678224139026991920y+1678224139026991920xy+14369214256537959y-320942436843837130-59091542359658991x+4195560347567479800z+740498471600585110xz+31924399987335779z+3919186134195971210yz+1253954848422022929xyz-35382585682781596z+839112069513495960-119843274135402090x+502020496760660514y)
2
x
2
x
2
y
2
y
2
x
2
y
2
z
2
z
2
z
880136331504027595126450726170402000
2
(-437027030580501225996961029219250x+181723630673205146341892534090050-1291424896509309385401519927878750y-1169809731085458947752997766212175xy+10244576467110346572932687789975y-388541453392338404853791484838450-204710046429362989304779746751150x-596794258566949613052184999119500xz+21781159779901990748379038328575z+345837913235467034635324448171300yz-283853282273553513025508010138901xyz+41905330233014121978491740961300z-21254685868681830825113125121850x+129615515418186072934198073676450y)
2
x
2
x
2
y
2
y
2
x
2
y
2
z
2
z
101753833668940978615068938751554295640628742336759288123228750000
2
(109195310986453905226476250097919569499000x+44369017431508548233439113008311941408350-8457205033457964752418149041567390265100xy+9082458299928876506086583632350651756075y-12804612137713484596350671559100243523650-1412014525325217958623163208839627296075x+145920129851440735833716765807666624269750xz+31513104258788753837839253791440424602275z+471834880567610290446744930564510406705850yz+111443447450302337969281093232540717875233xyz+86236461269778996651944942888942594461100z+21023162192769175926452871878863940799750x+12578374177724127221362359802410507718650y)
2
x
2
x
2
y
2
y
2
x
2
y
2
z
2
z
18235246673342642265423985554849478409456066714730542572555948296064222750203750000
In[]:=
f-%//Factor
Out[]=
0