Although
In[]:=
g[x_]=x^(1/x);(N[Quiet[NIntegrate[Exp[IPit]g[t],{t,1,1Infinity},WorkingPrecision100]],50]-I/Pi)
Out[]=
0.07077603931152880353952802183028200136575469620336-0.68400038943793212918274445999266112671099148265500
In[]:=
g[x_]=x^(1/x);(N[Quiet[NIntegrate[Exp[IPit]g[t],{t,1,1Infinity},WorkingPrecision500]]]-I/Pi)
Out[]=
-1.473068630344322×
496
10
+0``-463.65698344940665
In[]:=
g[x_]=x^(1/x);N[Quiet[NIntegrate[Exp[IPit]g[t],{t,1,1Infinity},WorkingPrecision500,Method"DoubleExponential",MaxRecursion10]]]
Out[]=
1.2026256318742618×
499
10
+5.33736156887517×
497
10

is too slow and unreliable, and
In[]:=
g[x_]=x^(1/x);Timing[y=(Quiet[NIntegrate[Cos[Pit]g[t],{t,1,1Infinity},WorkingPrecision2000]])+(Quiet[NIntegrate[ISin[Pit]g[t],{t,1,1Infinity},WorkingPrecision2000]]-I/Pi)][[1]]
Out[]=
80.7184
In[]:=
g[x_]=x^(1/x);Timing[N[y-(Quiet[NIntegrate[Cos[Pit]g[t],{t,1,1Infinity},WorkingPrecision1000]])+(Quiet[NIntegrate[ISin[Pit]g[t],{t,1,1Infinity},WorkingPrecision1000]]-I/Pi)]]
Out[]=
{16.2591,0``-963.0301309846731+1.365324088868103×
979
10
}
is only a little better,
I have found the following.
In[]:=
g[x_]=x^(1/x);Timing[MKB=(-IQuiet[NIntegrate[(g[(1+tI)])/(Exp[Pit]),{t,0,Infinity},WorkingPrecision2000,Method"Trapezoidal",MaxRecursion10]]-I/Pi)][[1]]
Out[]=
32.5625
In[]:=
g[x_]=x^(1/x);u:=(t/(1-t));Timing[MKB-(-IQuiet[NIntegrate[(g[(1+uI)])/(Exp[Piu](1-t)^2),{t,0,1},WorkingPrecision2000,Method"DoubleExponential",MaxRecursion10]]-I/Pi)]
Out[]=
{35.375,-1.4980262813963825516787985351858163551567488941718508155818810458517305975044213090883554825906736353251316452646592801626829472775363572426830560560715357520879183375097592593727502660882544871094027161740991777830632670765490580493950880203742770696274803637773314728915445875498465421690399568427247289723005113922832609175707150491895158137613021196394964994686351637893261059831852132016065155410482581078707264255542507228996721363727943006199692421119143416670233134535101421952618397253206405801058273596735223730859148485499347455647122105659623158307606736417309238486981286059726411052267214631390527491273670677449862095628636950933518974206096241346680984066428522914834697938877995434918598370717991852101723741677419381743590058339917258726969123555742738020101180277363992784213521962599878349712761620432285232200291169853527043426979134171365263810637483562943463433900736929992256957595373943092484718478389206748898942419808026425950025361053729131339952984738985703246554603580563315213029130195485561743836274765701530801612354095292797404146997151751370377216934867800516405455582525735867827509305218503548381654752909715483685381681825205745335818034105117662765921527923469121919767576967291074500923025255871195639216198453741337598524971194309774760482330199399823007442283932903313017125280938399169922068436017918132831200095087431301053776513700313444955496042687160720987370409384193029604628528754525321688291492715256454811281769531418570367525349896369548718194362978981799289982642618082146238360048339512177879018740147907454918506366345413778309493063642210981332488713507488016145691676835756334800675565415996191763560029027195524365808845456130229981984494317779117543494118227365338169262001284729287617573304409281411888477832858526457861785046523447446710678530117886805273845760973756642009020735780033330252842429611967569071732028413105245711828968637630802644232931765435483171684565744643572948238275969919620027055971715720155685043823831603320191896×
-2017
10
+9.8161987971734297164379025146093398823558175523681106261192709268619587309700788030429292102272735612103668949804218008724435163906534822560286302268348236658503843242371948233760952274950910542328360278857996246766754043860907183017452786310028781548673877210554825818828414136812272064246700072047235454933692078774228880569997436038114302459869280170546391429541832731485049598044315152255628282742304845672780417361394830790436089794526724831314419215879240564056302862862986901317881702436769519936700073697115783436602857426954447702906138638125744267511721622714818944773674393713214757605217280029649353033350198423675972213498248003246595437838005410841606410881391990567723497642488921769034769211035740447961626261006815098675386892100065579842558609905228394245382472727431284255979256559922091926242453807215791963191079015732943339944158476872874150371772625329100131869634213392321389586148250482729691272277258460283243341653915444229262477216305506231810261762142498309176505799619377963344691635038243930775064323451024323076449223843882427349003949450627238997499800677704072407488011480248638065713026466385128659360040515929280760811142926566339941339349947789812720841205702569625849681412711624888821021631976512232762394897177856712191904164972430728528706642594660895894902084419125911597143071470634598125138141205878885086284433425056949250736436374521931332244937818150115328659565773084864157110692150453396389858370233382237929850295459021332426402703765399656444279272837994059732975319007858659259379306258367630658445140372484798081254968108697479852924183917621614350464966884650053977411650756553492044902818748285538037979234750386265225139704002153671797606270893682234022899044916636143110634403174979762575931095817358311428443123115309428333598784434928694305699594582893928580353943340443071423431494286094028687821756774040911845965006853110843848208369880483414612724699309165115386337971653118485902273810568633070729444355934733309850463224656534803922283×
-2003
10
}
In[]:=
g[x_]=x^(1/x);Timing[MKB-(Quiet[NIntegrate[1/Pi(g'[(1+tI)])/(Exp[Pit]),{t,0,Infinity},WorkingPrecision2000,Method"Trapezoidal",MaxRecursion10]]-2I/Pi)]
Out[]=
{43.4688,5.6754990793391038886541128894920968314325995050448796924215443849602709612994391579209322991295819182521522359880783385996053311344640704261736494941786161829207087663510831939656623937255399818606179748277720524981788880652440764213045824710653773010995567054089730256176449120575511444142030533372449008209972117429010301323091079271270305489897217391492759565706558268727461597559101960454926106893858221594032520252032374603474151556344695281571625392879044070141609093204010461362516453563449519996400859954808732489918710071167223628141271885858103196908585449898369243415177110217940711652527381666210191306131283449384969522664252421630637677871078855883538880084751327841439215050164560297635943096677500834201213044505628003317583943810935144893541429652781922328046262575954109642585350476584219561275291031550697723637622062572846382077670463363030200753922697473538505356914249761252090552600034572083192365684319749091377960286134065037125496004936757364475599758818821658739263915589390847496002028077010998994044475260444708587981162682287442534398153489448982869355405564716033689717666024016047069266666504542693006593113036747308192369142431549317976722162410558434970390272949650304396644985380142479649743339219939941999776812322323651402006501300997696443272136965110406726342097620838738455911031688122271701078062067925047015558408088840573187118519746758098476695860611233319084798614155477874597378953178344017636875532987251491578956717327784291244577697771367053953899812631035358537704494102899075609589876515859186235295073938727448774292585840330276949401023484814991466786200096713556541073407990128665232995937651606243563386279336190362268762412576641720736128361312648526848957336530394869292388412731060956094746081262789852540459753833872490999539162718771117294569428691596646926940644342752889471297581596554643450351076590553619738614598676362707161217196666112091046658084498266270080979070565943408145128084356242472341852433946620848771551362351251771274439×
-2004
10
+1.3496423209555042990835967830555837059640179358030824470643453969538370845481389159770124867444386862845724435259199072160674141578138836732334782463989060171966933376203818109815751004468377293117463403053149442761883591713496651451358488026689845283843290934866790381615804141545188660521221948886572035661502974646269425728970505109640581300555257336244818991796554942977982064736437039302275842805730367462008732560964460684207545838073389069368580412627017292305554999046612743233124024976229003141184182351953369997425169486973470863451908505153154084267360785733855979529187616583923577940963492210918860340783878405811909000270698876310343761636498295709614756257055026309535651618185306630298874610734776568128445408347476877436765235699078519411659381252481549411274480823255244417611658438825810735082615225902605515911121488422197009071996854927785061557153411949880059399390792763964604690357070601915223870769258036386007993605727702952745155401585623708400030759744469617943937763550887896931386711422060632432100322068339389973784438317731582173678367791784728028820526187910216349199712075549542892034366880169209771005128935854504676596826966338092435275590532833914626041581483786227557938973902319217289514767083660703878186476856852943184518565706549322102238105458387279113242747724010064410681310907562327469634752146054795517763696747942379027919625471006826575018129350207145831914464512652801589670012161776704570571205614877524125967957576453719962174121023462647832252932622252362968307420891545211114929076266299993640318535694633299944640824250195422163141477036870341995607590487214910462384964145709282776314032992773098622525488739728294562602831389211860845302221607640704878840046432301827143634483324609037669949171137892825445018863831466978525429708984528406571115314662521482000879375169369155837004867190133252397636774457808310493674281422456018001443253133434610332894465691938351204530061155350746808156276063889665379174648661540966776150692622490133698483×
-2002
10
}