In[]:=
$Version
Out[]=
14.3.0 for Microsoft Windows (64-bit) (July 8, 2025)
In[]:=
Grid[Table[{c,Inactivate[Sum[((Activate[Sum[(c-1)!/i!,{i,0,c-1}]])*(k+c-1)+1)/((k+c)!)//Expand,{k,0,Infinity}]==E,Sum]},{c,1,10}],FrameAll]
Out[]=
1
∞
∑
k=0
1
(1+k)!
+
k
(1+k)!

2
∞
∑
k=0
3
(2+k)!
+
2k
(2+k)!

3
∞
∑
k=0
11
(3+k)!
+
5k
(3+k)!

4
∞
∑
k=0
49
(4+k)!
+
16k
(4+k)!

5
∞
∑
k=0
261
(5+k)!
+
65k
(5+k)!

6
∞
∑
k=0
1631
(6+k)!
+
326k
(6+k)!

7
∞
∑
k=0
11743
(7+k)!
+
1957k
(7+k)!

8
∞
∑
k=0
95901
(8+k)!
+
13700k
(8+k)!

9
∞
∑
k=0
876809
(9+k)!
+
109601k
(9+k)!

10
∞
∑
k=0
8877691
(10+k)!
+
986410k
(10+k)!

In[]:=
GridTablea,InactivateSum
ak^2+(a+2)k+(3-a)
(k+2)!
,{k,0,Infinity}==E,Sum,{a,1,10},FrameAll
Out[]=
1
∞
∑
k=0
2+3k+
2
k
(2+k)!

2
∞
∑
k=0
1+4k+2
2
k
(2+k)!

3
∞
∑
k=0
5k+3
2
k
(2+k)!

4
∞
∑
k=0
-1+6k+4
2
k
(2+k)!

5
∞
∑
k=0
-2+7k+5
2
k
(2+k)!

6
∞
∑
k=0
-3+8k+6
2
k
(2+k)!

7
∞
∑
k=0
-4+9k+7
2
k
(2+k)!

8
∞
∑
k=0
-5+10k+8
2
k
(2+k)!

9
∞
∑
k=0
-6+11k+9
2
k
(2+k)!

10
∞
∑
k=0
-7+12k+10
2
k
(2+k)!

In[]:=
Grid[Table[{b,Inactivate[Sum[(bk^3+(1+3b)k^2+3k+(2-3b))/(k+2)!,{k,0,Infinity}]==E,Sum]},{b,1,10}],Frame->All]
Out[]=
1
∞
∑
k=0
-1+3k+4
2
k
+
3
k
(2+k)!

2
∞
∑
k=0
-4+3k+7
2
k
+2
3
k
(2+k)!

3
∞
∑
k=0
-7+3k+10
2
k
+3
3
k
(2+k)!

4
∞
∑
k=0
-10+3k+13
2
k
+4
3
k
(2+k)!

5
∞
∑
k=0
-13+3k+16
2
k
+5
3
k
(2+k)!

6
∞
∑
k=0
-16+3k+19
2
k
+6
3
k
(2+k)!

7
∞
∑
k=0
-19+3k+22
2
k
+7
3
k
(2+k)!

8
∞
∑
k=0
-22+3k+25
2
k
+8
3
k
(2+k)!

9
∞
∑
k=0
-25+3k+28
2
k
+9
3
k
(2+k)!

10
∞
∑
k=0
-28+3k+31
2
k
+10
3
k
(2+k)!

In[]:=
Grid[Table[{c,Inactivate[Sum[(ck^4+(2c+1)k^3+(4-c)k^2+(3-4c)k-(3c+1))/(k+2)!,{k,0,Infinity}]==E,Sum]},{c,1,10}],Frame->All]
Out[]=
1
∞
∑
k=0
-4-k+3
2
k
+3
3
k
+
4
k
(2+k)!

2
∞
∑
k=0
-7-5k+2
2
k
+5
3
k
+2
4
k
(2+k)!

3
∞
∑
k=0
-10-9k+
2
k
+7
3
k
+3
4
k
(2+k)!

4
∞
∑
k=0
-13-13k+9
3
k
+4
4
k
(2+k)!

5
∞
∑
k=0
-16-17k-
2
k
+11
3
k
+5
4
k
(2+k)!

6
∞
∑
k=0
-19-21k-2
2
k
+13
3
k
+6
4
k
(2+k)!

7
∞
∑
k=0
-22-25k-3
2
k
+15
3
k
+7
4
k
(2+k)!

8
∞
∑
k=0
-25-29k-4
2
k
+17
3
k
+8
4
k
(2+k)!

9
∞
∑
k=0
-28-33k-5
2
k
+19
3
k
+9
4
k
(2+k)!

10
∞
∑
k=0
-31-37k-6
2
k
+21
3
k
+10
4
k
(2+k)!

In[]:=
Grid[Table[{d,Inactivate[Sum[(dk^5+k^4+(3-5d)k^3+3k^2+(2d-1)k-(5d+4))/(k+2)!,{k,0,Infinity}]==E,Sum]},{d,1,10}],Frame->All]
Out[]=
1
∞
∑
k=0
-9+k+3
2
k
-2
3
k
+
4
k
+
5
k
(2+k)!

2
∞
∑
k=0
-14+3k+3
2
k
-7
3
k
+
4
k
+2
5
k
(2+k)!

3
∞
∑
k=0
-19+5k+3
2
k
-12
3
k
+
4
k
+3
5
k
(2+k)!

4
∞
∑
k=0
-24+7k+3
2
k
-17
3
k
+
4
k
+4
5
k
(2+k)!

5
∞
∑
k=0
-29+9k+3
2
k
-22
3
k
+
4
k
+5
5
k
(2+k)!

6
∞
∑
k=0
-34+11k+3
2
k
-27
3
k
+
4
k
+6
5
k
(2+k)!

7
∞
∑
k=0
-39+13k+3
2
k
-32
3
k
+
4
k
+7
5
k
(2+k)!

8
∞
∑
k=0
-44+15k+3
2
k
-37
3
k
+
4
k
+8
5
k
(2+k)!

9
∞
∑
k=0
-49+17k+3
2
k
-42
3
k
+
4
k
+9
5
k
(2+k)!

10
∞
∑
k=0
-54+19k+3
2
k
-47
3
k
+
4
k
+10
5
k
(2+k)!
